proste, ale nie mogę wpaśc -.- jancio: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ≥1 liczba 10ⁿ – 4 jest podzielna przez 6 korzystając z cech podzielności przez 2 i 3.

Godzio: 10ⁿ − 4 = 9 * 10^{n − 1} + 9 * 10^{n − 2} + ... + 9 * 10² + 9 * 10¹ + 6 Ostatnia cyfra (6) jest podzielna przez 2, a suma cyfr jest podzielna przez 3: 9 * (n − 1) + 6 = 9n − 9 + 6 = 3 * (3n − 1) A żeby zobrazować: 1000 − 4 = 996 10000 − 4 = 9996

zombi: Miałeś kongruencje? Bo nie wiem czy jest sens to zapisywać

zombi: Spóźniłem się + Godzio bez kongruencji zrobił...

Godzio: Nie wiem czy rozwiązanie z kongruencjami korzystałoby z cech podzielności przez 2 i przez 3

zombi: No ja zrobiłem, że 10ⁿ−4 = 0 (mod 2) i 10ⁿ−4 = 0 (mod 3)

ZK: A tak moze byc? 1 krok indukcyjny dla poczatkowej liczby naturalnej n=1 czyli 10¹−4=6 −podzielne przez 6 2 krok indukcyjny . Sprawdzamy czy jesli twierdzenie jest przwdziwe dla n=1 to czy jest prawdziwe dla nastepnej liczby naturalnej czyli n+1 10ⁿ⁺¹−4=10¹*10ⁿ−4=10*10ⁿ−40+36=10(10ⁿ−4)+36=10(10ⁿ−4)+6*6 Zgodnie z zalozeniem indukcyjnym liczba ta jest podzielna przez 6 . Kazdy skladnik sumy jest podzielny przez 6 wiec tez cala suma jest podzielna przez 6 . A jak jest podzielna przez 6 to jest rownoczesnie podzielna przez 2 i 3

Godzio: Rozwiązanie jest ok, ale nie ma wykorzystania cechy podzielności

zombi: Właściwie to można to zrobić jeszcze ze skróconego mnożenia 10ⁿ−4=10ⁿ−1ⁿ−3=(10−1)[10ⁿ⁻¹+10ⁿ⁻²+...+10¹+1]−3=9[10ⁿ⁻¹+10ⁿ⁻²+...+10¹+1]−3 i w zasadzie mamy to co Godzio Nudziło mi się, więc patrzyłem czy tak też można.

Godzio: