Algebra liniowa fdsa: Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni Z=lin<(1,1,3,3),(1,0,−2,−1),(3,2,4,5),(4,1,3,4)>. Wymiar jest to po prostu ilość tych wektorów w powłoce? dimZ=4? Żeby wektory tworzyły bazę, muszę generować Z i być liniowo niezależne. Widać, że generują, ale wszystkie cztery są liniowo zależne. Jak znaleźć w takim razie bazę? Muszę znaleźć dowolne 3 wektory liniowo niezależne?

fdsa:

fdsa: W przestrzeni wektorowej R²⁰¹² dane są podprzestrzenie U oraz V. Wektory u₁, u₂, u₃ tworzą bazę dla U, a wektory v₁, v₂ stanowią bazę dla V. Wiadomo też, że dim(U∩V)=0. a). wyznaczyć wymiar podprzestrzeni U+V b). udowodnić, że wektory u₁, u₂, u₃, v₁, v₂ są liniowo niezależne. ad a). dimU=3 dimV=2 dim(U+V)=dimU+dimV−dim(U∩V)? Czyli wymiar U+V=5? ad b). to jest oczywiste, tylko jak to udowodnić?

b.: można po prostu, napisać kombinację liniową a₁ u₁ + a₂ u₂ + a₃ u₃ + a₄ v₁ + a₅ v₂ = 0 i teraz przenosząc a₄ v₁ + a₅ v₂ na prawą stronę mamy po lewej stronie wektor z U, a po prawej wektor z V. Jedynym wektorem z U ∩V jest 0, więc obie strony są zerami, i z niezależności u₁, u₂ i u₃ dostajemy teraz że a₁ = a₂ = a₃ = 0, a z niezależności v_j: a₄=a₅=0 można też kombinować np. tak: każdy wektor z U+V jest sumą wektora z U i wektora z V, a te wektory da się zapisać w postaci kombinacji liniowej u₁, u₂, u₃ oraz v₁, v₂ (odpowiednio) wniosek: u₁, u₂, u₃, v₁, v₂ rozpinają U+V a skoro dim(U+V)=5, to muszą być one liniowo niezależne

Krzysiek: 1)znajdź maksymalną ilość wektorów liniowo niezależnych(niekoniecznie musi być ich 3) będą one tworzyć bazę, a ich ilość to wymiar przestrzeni.

fdsa: Dzięki wielkie super dowody. A co z pierwszym?

fdsa: Aha, czyli wymiar podprzestrzeni, to nie ilość wektorów w powłoce, tylko ilość wektorów liniowo niezależnych w powłoce? A jak szybko znaleźć te wektory liniowo niezależne? Musze po kolei wszystkie przypadki rozpatrywać? Podobno można ułożyć je w macierz i sprowadzić do postaci schodkowej. Rząd macierzy wychodzi 3. Ale jak potem odczytać te wektory?

Krzysiek: pierwsze pytanie:tak. jak doprowadziłeś/aś do postaci schodkowej to te 3 wektory(wiersze ) będą tworzyć bazę. Można też zauważyć(czasami łatwo widać) że u₃ =2u₁ +u₂ zatem jest liniowo zależny

fdsa: Czyli na przykład bazą są te 3 wektory? (1,1,3,3),(1,0,−2,−1),(4,1,3,4)> Po sprowadzeniu do postaci schodkowej wyszło mi coś takiego 1 1 3 3 0 1 5 4 0 0 0 0 0 0 3 4 Czyli bazą mogą być na przykład wektory (1,1,3,3),(0,1,5,4),(0,0,3,4)? Są liniowo niezależne

Krzysiek: tak

fdsa: Kkej. Nie ma to jak w 1 dzień ogarnąć większa część semestru algebry. Jeszcze tylko dowody poćwiczyć. Dzięki za pomoc