W zbiorze liczb zespolonych rozwiazac podane rownanie damian: W zbiorze liczb zespolonych rozwiazac podane rownanie z⁶=(1−i)⁶

Krzysiek:

	2kπ		2kπ
z=6√(1−i)6=(1−i)(cos		+isin		)
	6		6

k=0,1,2,3,4,5 wstawiając kolejne 'k' otrzymujesz kolejne rozwiązanie

Trivial: Zauważ, że jeśli z spełnia równanie to spełnia je również ze^i*2kπ/6 Dowód: (ze^i*2kπ/6)⁶ = z⁶e^i*2kπ = z⁶*1 = z⁶. Dodatkowo, dla k=0,1,2,3,4,5 dostajemy różne rozwiązania. Wiemy, że to równanie ma dokładnie 6 pierwiastków (z uwzględnieniem krotności) − wystarczy zatem znaleźć dowolne rozwiązanie → wtedy aby uzyskać pozostałe rozwiązania trzeba tylko przemnożyć przez czynnik e^i*2kπ/6 Rozwiązanie: z_k = (1−i)e^i*kπ/3

damian: okej to mam rozwiazane . a taki przyklad (z−i)⁴ −(z+1)⁴

damian: (z−i)⁴ = (z+1)⁴ (poprawka)

jikA: (z − i)⁴ = (z + i)⁴ (z − i)⁴ − (z + i)⁴ = 0 [(z − i)² + (z + i)²][(z + i)² − (z − i)²] = 0 [(z − i)² + (z + i)²][(z + i + z − i)(z + i − z + i) = 0 [(z − i)² + (z + i)²] * 2iz = 0 [(z − i)² − (i(z + i))²] * 2iz = 0 (z − i − iz + 1)(z − i + iz − 1) * 2iz = 0 (1 − i)z − i + 1 = 0 ⇒ z = 1 ∨ (1 + i)z − i − 1 = 0 ⇒ z = −1 ∨ 2iz = 0 ⇒ z = 0

damian: tam jest (z + 1). a nie dwa razy (z−i)

damian: tam jest (z + 1). a nie dwa razy (z−i)

hof: W zbiorze liczb zespolonych rozwiazac podane rownanie z⁶−1=0 Rozwiązania zapisać w formie trygonometrycznej oraz algebraicznej.