damian92: Na ile sposobów można rozmiescić 20 identycznych kul w 5 numerowanych urnach tak aby kazda zawierala conajmniej 2 kule?

Mila: 20−2*5=10 umieszczono po 2 kule w każdej szufladzie x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10 liczba rozwiązań równania, gdzie x_i≥0

10+5−1 5−1		14 4
	=

PW: Ciekawe zadanie, więc dołączę konstrukcję zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Z uwagi na to, że kule są nierozróżnialne, istotna jest odpowiedź na pytanie: ile kul znajduje się w szufladzie nr 1, w szufladzie nr 2, ..., w szufladzie nr 5. Zdarzeniami elementarnymi są więc 5−elementowe ciągi (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅), w których każdy element może przyjmować wartość ze zbioru {0,1,2,3, ..., 20} spełniające warunek x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 20. Tak więc pytanie pierwsze: czy umiesz ustalić liczność zbioru Ω? To oczywiście pytanie pomocnicze do damiana92.

damian92: Nie umiem ustalić liczności zbioru Ω

PW: Bo to wcale nie jest łatwe, trzeba raz zobaczyć. (1) 1+1+1+ ... +1 = 20 W tej sumie 20 składników wstawiamy przecinki zamiast "+" w dowolnych 4 miejscach, np 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1. Otrzymaliśmy w ten sposób 5 liczb, których suma jest równa 20: 3 , 4, 6, 4, 3. Znaków "+" w sumie (1) jest 19, widać więc że liczbę 20 można przedstawić na

	19 4
(2)

sposobów jako sumę 5 niezerowych składników naturalnych, przy czym liczba (2) uwzględnia kolejność składników. Możemy zatem powiedzieć, że liczba (2) to liczność zbioru S₅ − "w każdej z 5 szuflad jest co najmniej jedna kula". Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych Ω = S₅∪S₄∪S₃∪S₂∪S₁ (przez S_k oznaczyliśmy zdarzenie "kule rozmieszczono w dokładnie w k szufladach"). Jeżeli umiesz podać liczność każdego ze zbiorów S_k, to uzyskasz liczność Ω. Po tym doświadczeniu zrozumiesz, co napisała Mila, dla której

Mila: Dziękuję,PW. Jeśli Damian ma pytania, to jestem na forum. To jest zadanie z matematyki dyskretnej.

PW: @Mila: Powiem Ci, że "nie miałem tego na studiach", a szkoda − to są ciekawe zagadnienia.

Mila: Ja też nie miałam. Był wstęp do matematyki, bardzo teoretyczny i abstrakcyjny.( Sporo osób odpadło po egzaminie, reszty dokonała algebra− abstrakcja, dowód,dowód.....) Równań diofantycznych też nie było.