Znajdz wzór i udowodnij indukcyjnie:
damian92: Znajdz wzór i udowodnij indukcyjnie:
3 3 3
1 + 2 + .................n
11 sty 01:57
Mateusz:
Wskazowka :
Proponuje udowodnici taka rownosc:
n n
∑ i3 = ( ∑ i)2
i=1 i=1
11 sty 10:28
Janek191:
13 + 23 = 1 + 8 = 9 = ( 1 + 2)2
13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = ( 1 + 2 + 3)2
więc
13 + 23 + 33 + .. + n3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n)2 = [ (1/2) n*(n + 1)]2 =
= (1/4)*n2*(n+1)2
11 sty 12:27
Janek191:
1) n = 1
Mamy
13 = 1 i (1/4) *12 *( 1 + 1)2 = (1/4)*1*4 = 1
ok
2) Zakładam, że wzór jest prawdziwy dla n = k , czyli
13 + 23 + ... + k3 = (1/4) k2 *( k + 1)2
3) Wykażę ,że z prawdziwości wzoru dla k wynika prawdziwość dla k + 1
Mamy
13 + 23 + ... + k3 + ( k + 1)3 = (1/4) k2 *( k + 1)2 + ( k + 1)2 =
= (1/4) k2 *( k + 1)2 + ( k + 1)2 * ( k + 1) =
= ( k + 1)2 *{ (1/4) k2 + k + 1 ] =
= ( k + 1)2 * [ (1/4)*( k2 + 4 k + 4)] =
= (1/4)*( k + 1)2 *( k + 2)2 = (1/4) *( k + 1) *[ ( k + 1) + 1]2
Spełnione są założenia indukcji matematycznej, więc wzór jest prawdziwy dla
dowolnej liczby naturalnej n
11 sty 12:45
Janek191:
Zgubiłem 2. Powinno być na końcu
= (1/4)*( k + 1)2 *[ ( k + 1) + 1}2
11 sty 12:47