Pytanko zombi: Mam pytanie odnośnie dowodzenia, jak to jest, jeśli mam podany jakiś warunek i pewną tezę. To mamy wychodzić od podanego warunku do tezy, czy od mam wyjść od tezy i dojść do prawdziwego podanego warunku?

PW: Twierdzenie ma postać P ⇒ q. Przy założeniu prawdziwości zdania p prawdziwe jest zdanie q. Normalna droga to "wychodząc od p wykazać q". Jednakże zdania p ⇒ q i ∼q ⇒ ∼p mają tę samą wartość logiczną (oba są prawdziwe, albo oba fałszywe). Można więc udowodnić to drugie, czyli pokazać, że z zaprzeczenia tezy wynika sprzeczność z założeniem − "jeśli nie q, to nie p". Ten drugi sposób to dowód "nie wprost". To co napisałeś: "wyjść od tezy i dojść do prawdziwego podanego warunku" to najpopularniejszy błąd w dowodzeniu. Zamiast dowieść p⇒q dowodzi się q⇒p, a to jest twierdzenie odwrotne (nie musi być prawdziwe). Sakramentalny przykład to: p⇒q: Jeśli liczba dzieli się przez 4, to dzieli się przez 2. Zdanie prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. q⇒p: Jeśli liczba dzieli się przez 2, to dzieli się przez 4. To zdanie nie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

zombi: No to skoro tak, przykładowo: Wykazać, że jeżeli liczby rzeczywiste x₁,x₂,...,x_n spełniają warunek n

	( ∑l=1 xl)2
∑nl=1 xl2 =		, to x1=x2=...=xn
	n

	∑ xl2 + 2 ∑1≤j<l≤n xjxl
∑ xl2 =
	n

(n−1)∑ x_l² − 2 ∑ x_jx_l = 0 ∑_1≤j<l≤n (x_j−x_l)² = 0 (x₁−x₂)²+(x₁−x₃)²+...+(x_n−1−x_n)²=0 ⇒ x₁=x₂=...=x_n Czyli przeszedłem z mojego p ⇒ q, więc to poprawny dowód?

zombi: Podbijam, bo chce mieć pewność

PW: A dlaczego masz wątpliwości? Domyślam się, że niektórzy przeprowadzają ten dowód "z dołu do góry" patrząc na Twój zapis. Zauważ że wszystkie napisane kolejne "linijki" są zdaniami równoważnymi (nawet to co napisałeś jako wynikanie w ostatniej linijce), a więc w tym wypadku − bo im to wygodniej − zaczynają od oczywistego zdania prawdziwego i dochodzą do badanej implikacji. Końcowa konkluzja jest taka: − badana implikacja jest równoważna pewnemu zdaniu prawdziwemu, jest więc prawdziwa..

zombi: A czy jeśli zaczynam od założenia, a nie od jakiejś "oczywistej" równości, to tracę?

PW: To już pisałem. Jeżeli zamiast dowodzić p⇒q dowodzisz q⇒p, to po prostu dowodzisz inne twierdzenie (no, chyba że wszystkie kolejne przekształcenia będą równoważne, czyli wykażesz q⇔p). Czasem to się udaje, ale jako zasada generalna dowodzenia nie powinno być stosowane. Przykład. Twierdzenie. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₀, to jest w tym punkcie ciągła. Twierdzenie to jest prawdziwe, ma porządny dowód. Twierdzenie "jeśli funkcja jest ciągła w punkcie x₀, to ma w tym punkcie pochodną" jest fałszywe. Przykładem jest f(x) = |x| w punkcie x₀=0. Co by więc dało "wyjście od tezy", czyli rozpoczęcie dowodzenia od zdania "Niech funkcja f będzie ciągła w punkcie x₀"?

zombi: Okej dzięki wielkie PW! Rozjaśniłeś mnie, bo często myliłem tezę z założeniem i to od, którego powinienem zacząć. Jeszcze raz dzięki