jakie są zależności między średnimi (arytmetyczną kwadratową harmoniczną i geom olkaq: Czy zna ktoś jakie są zależności między średnimi (arytmetyczną kwadratową harmoniczną i geometryczną) PROSZĘ O POMOC

olkaq: POMOCY

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy'ego_o_%C5%9Brednich

olkaq: TYLKO TAKIE NIE MA INNYCH Bo moja nauczycielka jest bardzo wymagająca

olkaq: Chodzi mi o takie które powinien znać uczeń pierwszej klasy liceum

Mateusz: Oczywiście co wiecej te własnosc łatwo mozna udowodnic ale to juz nie powinno nastreczyc trudnosci Jezeli m_k m_a,m_g,m_h są odpowiednimi średnimi liczb a₁ a₂....a_n to m_k≥m_a≥m_g≥m_h m_k−srednia kwadratowa m_a−srednia arytmetyczna m_g−srednia geometryczna m_h−srednia harmoniczna tak a propo warto sie tez zastanowic kiedy zachodzi rownosc czyli m_k=m_a=m_g=m_h

olkaq: A kiedy zachodzi

Mateusz: no to mowie sprobuj pomyslec kiedy jakie muszą byc liczby a₁,a₂,a₃....a_n? jaki musi byc warunek miedzy nimi?

PW: Jeszcze

	a+b		a2+b2
(		)2 <		,
	2		2

która uogólnia się na większą liczbę składników, a słowami wyraża: Średnia arytmetyczna kwadratów jest większa od kwadratu średniej arytmetycznej (równość ma miejsce, kiedy wszystkie składniki są jednakowe, więc można napisać

	a+b		a2+b2
(		)2 ≤		.
	2		2

Bardzo użyteczna, no, niedawno była tu do udowodnienia nierówność

	1
Udowodnij, że jeśli a+b=1, to a2+b2 ≥		. Dowód − jedna linijka.
	2

olkaq: Coś jeszcze

Mateusz: no to jak olka wymysliłas cos ?

olkaq: nie, ale wydaje mi się że to coś prostego

Mateusz: no pewnie ze prostego proponuje ci sprawdzic to: ta rownosc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy a₁=a₂...=a_n

olkaq: Czyli ta równość zachodzi jeśli wszystkie liczby są taki same ?

Mateusz: no tak jak widac proponuje sprawdzic na jakims przykładzie i policzyc odpowiednie średnie

olkaq: ok THX man

olkaq: *MAM

Mateusz: Tak swoją drogą te rownosc tez mozna udowodnic ale nie na konkretnie wstawionych liczbach tylko na zmiennych

olkaq:

Mateusz: To było jako ciekawostka zebys czasami nie myslała ze tak sie dowodzi twierdzenia−sprawdzajac dla jakis liczb i jak zachodzi to to sie przyjmuje jako pewnik.

olkaq: AHA

olkaq: W matematyce średnia kwadratowa – przykład miary statystycznej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii danych liczbowych lub funkcji ciągłej, użyteczny zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różnią się znakiem. Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem innej miary, jest to mianowicie średnia potęgowa rzędu 2, jednak ze względu na jej znaczenie praktyczne ma odrębną nazwę. Średnia kwadratowa liczb jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb Na przykład, średnią kwadratową liczb 2, 2, 5 i 7 jest . Średnią arytmetyczną liczb nazywamy liczbę: Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i n (gdzie n to ilość sumowanych liczb). Średnią geometryczną dodatnich liczb nazywamy liczbę Istnieje również wariant średniej geometrycznej nazywany ważoną średnią geometryczną. Na przykład średnią geometryczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest Średnia ta jest stosowana, gdy zmienna ma rozkład logarytmiczno−normalny. Średnią harmoniczną liczb dodatnich nazywamy liczbę: Istnieje również wariant zwany ważoną średnią harmoniczną. Na przykład średnią harmoniczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest: Średnia harmoniczna jest średnią potęgową rzędu –1. Zależności pomiędzy średnimi : Nierówność Cauchy'ego o średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., an stwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., an jest nierosnący. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy'ego, francuskiego matematyka. Oznacza to, że Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a1, a2, ..., an są równe. Pierwsza z nierówności zachodzi również dla dowolnych liczb rzeczywistych (lecz wtedy, w ogólnym przypadku, wyrażenie po lewej stronie znaku nierówności opisuje średnią). Nierówność Cauchy'ego o średnich jest szczególnym przypadkiem nierówności o średniej uogólnionej. Jezeli mk ma,mg,mh są odpowiednimi średnimi liczb a1 a2....an to mk≥ma≥mg≥mh mk−srednia kwadratowa ma−srednia arytmetyczna mg−srednia geometryczna mh−srednia harmoniczna Średnia geometryczna i harmoniczna Zgodnie z nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną: Gdzie xi są dodatnie (z czego wynika, że ich odwrotności są dodatnie). Funkcja , jest funkcją malejącą, więc po nałożeniu jej obustronnie na powyższą nierówność otrzymujemy: Co kończy dowód. Średnia arytmetyczna i kwadratowa Dowód korzysta z nierówności o ciągach jednomonotonicznych. Weźmy nierosnący ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: . Weźmy sumę: Zgodnie z nierównością o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu. Po pomnożeniu jej przez notrzymujemy: co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych n sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia. Łatwo zauważyć, że iloczyn: jest sumą dokładnie n takich sum, zatem: dzielimy obustronnie przez n² wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy: no to tak ja sobie to zapisałam