Zadania wielomianowe Maroo: 1. Dla jakich wartosci parametru m równanie x⁴ + (1 − 2m)x² + 2m² + 1/4 = 0 nie ma rozwiazan I tu mam pytanie wiem z internetu ze maja byc 3 zalozenie 1) Δ <0 2) Δ = 0 t < 0 3) Δ > 0 t1*t2 >0 t1 + t2 < 0 i dlaczego maja byc te 3 warunki rozaptrzone i polaczone a nie tylko jedne np 1 czy 2 czy 3 ? 2.Dla jakich wartosci parametru m równanie x⁴ + 2(m−2)x² + m² + m² − 1 = 0 ma dwa rozne pierwiastki i znow wiem ze ma byc Δ = 0 LUB Δ>0 t1 * t2 <0 i czemu rozpatrujemy te 2 warunki skoro jest lub PROSZE OD DOKLADNE WYTLUMACZENIE

Skipper: 1) Zauważ, że stosujesz podstawienie x²=t zatem: a) dla Δ<0 .... oczywiście nie ma rozwiązań b) ale i dla Δ=0 (czyli kiedy otrzymamy jedno rozwiązanie dla t) ale t<0 nie ma rozwiązań bo x²≥0 c) ale i dla Δ>0 ... kiedy oba czyli t₁ jak i t₂ są mniejsze o 0 ... nie ma rozwiązań

Maroo: ja wie jak zrobic 1 zad i 2 ale nie wiem czego trzeba rozwazyc te 3 przypadki

Maroo: odp do zad 1 m ∊ R

Skipper: no przecież Ci napisałem

Maroo:

Maroo: a jak patrzylem na innych portalach to wychodzi tak ze : Δ < 0 m∊(−∞, −1) ∪ ( 0 , 1) Δ=0 m∊ ( −1,0) t < 0 m<1/2 Δ >0 m∊ (−1,0) t1*t2 >0 m∊R t1 + t2 < 0 m < 1/2

Maroo: i odp do zadnia to jest m∊R i pytanie skad sie wzielo tak wiem wzielo sie z tych 3 rozwiazanych warunkow ale dlaczego akurat 3 trzeba rozwazyc a nie np : samo Δ <0 czy Δ=0 t < 0

Skipper: ... Ty może włącz myślenie ... swoje ... i spróbuj zrozumieć to co Ci napisałem Nie rozwiązywałem ....tylko wyjaśniałem to o co prosiłeś ...czyli dlaczego trzy przypadki

Maroo: rozumieim wszystko napewt to co napisales ale czemu trzeba rozwazyc te 3 przypadki juz rozumiem twoja poprzednia wiadomosc tylko czemu ropzwazamy 3 warunki

Maroo: aaaa

Maroo: chodzi o to ze rozwazamy 3 przypadki 3 rozne po to zeby udowodnic ze nie ma rozwiazan i po to sa te 3 warunki bo sa 3 sposoby tak

Maroo: dobrze rozumiem

Skipper: myśl dalej−

Maroo: ale co zle rozumiem

Skipper: przecież rozwiązań nie będzie tylko dla Δ<0 dla Δ=0 .... ale kiedy otrzymamy t₁=t₂<0 .... rozwiązań też nie ma ... itd −

Maroo: bo ja to rozumiem tak mam zadanie i mam udowodnic ze nie ma rozwiazan wiec piszemy 3 przypadki nastepnie je rozmwiazujemy i wychodza przedzialy ktore pozniej sumujemy i wychodzi ze m ∊ R i nie ma rozwiazn dobrze

Maroo: bo tylko te 3 przypadki tzn 1) Δ < 0 2) Δ=0 t < 0 3) Δ >0 t1*t2 t1 + t2 swiadcz o tym ze nie ma rozwiazan bo jak zamiast t1 + t2 <0 bylo t1 + t2 >0 to juz oznacza ze sa rozwiazania i to 4 wiec tylko tamte 3 swiadcza o tym ze nie ma rozwiazan dobrze

PW: Dokładne wytłumaczenie wymaga wiedzy o liczbach zespolonych. Stosujesz tu podstawienie t=x²>0 i mówisz: Mam równanie kwadratowe

	1
(0) t2 + (1−2m)t +		= 0,
	4

	1
które muszę rozwiązać w dziedzinie t∊(0,		).
	4

Jeżeli Δ<0, to równanie nie ma żadnych pierwiastków rzeczywistych t. Są dwa pierwiastki nierzeczywiste − liczby zespolone

	2m−1−√Δ		2m−1+√Δ
t1=		, t2=		,
	2		2

co oznaczałoby, że

	2m−1−√Δ		2m−1+√Δ
(1) x2 =		lub x2 =		,
	2		2

czyli rozwiązań w postaci x∊R nie ma (kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą, więc równania (1) nie mają pierwiastków rzeczywistych. Jeżeli dla równania (0) wyróżnik Δ=0, to równanie ma jeden pierwiastek

	2m−1
t0 =
	2

	2m−1
czyli x2=
	2

Nie będzie pierwiastków rzeczywistych, jeżeli x²<0, stąd założenie Δ<0 i t₀<0. Jeżeli dla równania (0) wyróżnik Δ>0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste t₁ i t₂. Ponieważ przy podstawieniu założyliśmy, że t=x², czyli x²=t₁ lub x²=t₂, a nie chcemy pierwiastków rzeczywistych, musimy zadbać o to, by jednocześnie t₁<0 i t₂<0. Osiągniemy to zakładając, że t₁^.t₂>0 (iloczyn dwóch ujemnych jest dodatni) i jednocześnie t₁+t₂<0 (suma dwóch ujemnych jest ujemna). Stąd założenia: (Δ>0 i t₁^.t₂>0 i t₁+t₂<0).

Maroo: Skipper dobrze jest to co napisałem wczesniej

Maroo: a czyli dobrze to co napisalem wczesniej ze sa tylko 3 sposoby udowodnienia ze nie ma rozwiazan t1 i t2 musz byc <0 wiec tylko te 3 warunki swiadcza o tym nareszcie dobrze czaje

Maroo: DZIEKI PW i skipper

Maroo: chyba ze zle zaczailem to poprawcie

Skipper: Do rozkminienia tego zadanka nie potrzeba teorii licz zespolonych. Równanie "podwójnie" kwadratowe które rozwiązujemy przez podstawienie x²=t nie ma rozwiązań gdy: a) Δ<0 (oczywista oczywistość) b) ale i dla Δ=0 ale kiedy otrzymany pierwiastek t<0 c) jak równieź dla Δ>0 ale kiedy oba otrzymane t czyli t₁ jak i t₂ są mniejsze od 0 ...dlatego przy podstawieniach x²=t stosujemy zastrzeżenie t>0

Maroo: DZIEKI WIELKIE

PW: @Skipper:: Nie wmawiaj na siłę, że Δ<0 oznacza już brak pierwiastków. Przecie nie szukamy pierwiastków równania zmiennej t, ino pierwiastków równania zmiennej x. To nie jest żadna "oczywista oczywistość". Myślę, ża zadanie rozwiązuje student, a nie licealista. Jak nie liczby zespolone, to zasadnicze twierdzenie algebry, z którego wynika wniosek: wielomian stopnia czwartego o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na co najmniej dwa czynniki kwadratowe. Tyle że zasadnicze twierdzenie algebry ...

Skipper: ... nic i nikomu nie wmawiam Jest to poziom matury rozszerzonej ... i oczywiste jest, że skoro nie nędzie pierwiastków zmiennej t to jest to równoznaczne z brakiem pierwiatków zmiennej x ! Jeden jak i dwa pierwiastki zmienej t ale ujemne .... to też brak pierwiastków zmiennej x !

PW: Widzisz jako oczywiste coś, czego najtęższe umysły nie widzą. Rozumując tak jak to prezentujesz (skoro Δ<0, to pierwiastków nie ma), dlaczego nie wyciągasz wniosku "skoro Δ>0 to są dwa pierwiastki"? Δ to wyróżnik równania zmiennej t, jego związek z pierwiastkami równania zmiennej x nie jest "oczywistą oczywistością".

Skipper: ... coś Cię zaćmiło drogi Kolego − Nie dostrzegasz założeń dla braku rozwiązań dla zmiennej x ... wszak to nie tylko Δ ale i znak pierwiastków zmiennej t

PW: Nie dostrzegam. Może tak naukowo wytłumaczysz, co Ty widzisz. Maroo prosił o DOKŁADNE WYTŁUMACZENIE, więc wytłumaczyłem. Sądzę, że uczeń kształcący się na poziomie rozszerzonym słyszał o liczbach zespolonych i o tym, że wzory na pierwiastki równania kwadratowego w przypadku Δ<0 są aktualne. Czy widzisz jakiś błąd w tym tłumaczeniu? Napisałem nieprawdę, coś wmawiałem? Znasz jakieś twierdzenie, którego ja nie znam i w związku z tym niepotrzebnie tłumaczyłem? Proszę, przytocz to twierdzenie i jego dowód, bo wydaje mi się, że stwierdzenie "coś Cię zaćmiło drogi Kolego" nie należy do argumentów naukowych.

Skipper: ... po co ty prowokujesz? ... i napinasz się ... To co ty sądzisz "że, uczeń kształcący się na poziomie rozszerzonym słyszał o liczbach zespolonych" . to twoje "zaklinanie rzeczywistości" by bronić stwierdzenia które wpisałeś na starcie. Otóż przyjmij do wiadomości, że do rozwiązania tego zadania nie potrzebna jest wiedza o liczbach zespolonych ... i nie trzeba być studentem. I nic ponadto ...

PW: No to rzeczywiście naukowe argumenty. Cieszę się, że nie jesteśmy blisko, bo pewnie byś mnie pobił, i obiecuję więcej tu nie zaglądać.

krystek: Oj , potrzebny "kubeł " zimnej wody ,aby emocje opadły. Pozdrawiam.

Marek: przestańcie się sprzeczać , lepiej zajrzyjcie na mój temacik i pomóżcie z całeczkami ; p

Skipper: ... przecież ten facet nie czyta chyba tego co sam wypisuje. I jaka groźba na koniec ... pozbawi nas swego towarzystwa. Ta stronka pewnie popadnie bez niego w ruinę −:(

krystek: Kazdy ma swój zły dzień , ale nie każdy potrafi panować nad emocjami. dla Wszystkich.