Indukcja matematyczna Krzysiek: Próbuję wykazać nierówność indukcją matematyczną: dla n≥4 2ⁿ<n! 1) sprawdzam czy zachodzi dla n=4: 16<24 ⇔ zachodzi 2) zakładam, że zachodzi dla n=k: 2^k<k! 3) próbuję udowodnić, że zachodzi dla n=k+1: 2^k+1<(k+1)! 2^k*2}<k!(k+1) Nie widzę na jakiej zasadzie to zachodzi... Nie rozumiem. Mógłby mnie ktoś naprowadzić?

Krzysiek: masz wykazać,że 2^k+1<(k+1)! 2^k+1=2*2^k (korzystając z założenia wiemy,że 2^k <k!) więc 2*2^k<2*k! i teraz trzeba wykazać,że 2k!<(k+1)!=k!(k+1)

Krzysiek: A dlaczego trzeba wykazać, że 2k!<(k+1)! ?

Krzysiek: masz wykazać: 2^k+1<(k+1)! z założenia wiemy,że: 2^k+1<2*k! więc jeżeli 2k!<(k+1)! to wtedy 2^k+1<2k!<(k+1)! i wykażemy tą nierówność a<b i b<c ⇒a<c

Krzysiek: Dzięki

Krzysiek: A mógłbyś mi sprawdzić ten przykład? 2ⁿ>n²+n−1, dla n≥5 1) sprawdzam czy zachodzi dla n=5: 32>29 2) zakładam, że zachodzi dla n=k: 2^k>k²+k−1 3) próbuję udowodnić, że zachodzi dla n=k+1: 2^k+1>(k+1)²+k 2^k*2>2(k²+k−1) a>b i b>c => a>c a=2^k*2 b=2(k²+k−1) c=(k+1)²+k

Krzysiek: pozostało Tobie wykazać,że: 2(k² +k−1)>(k+1)² +k (równanie kwadratowe, liczysz Δ i sprawdzasz czy dla k≥4 jest spełniona nierówność)

Krzysiek: 2k²+2k−2>k²+3k+1 dla n=5 50+10−2>25+15+1 58>41 o to chodzi?

Krzysiek: ale to masz dla każdego k≥4 wykazać,że ta nierówność zachodzi: 2k² +2k−2>k² +3k+1 k² −k−3>0 Δ=13 k₁ =... k₂ =... i rozwiązujesz nierówność

Krzysiek: Skąd k≥4 ?

Krzysiek: masz pokazać,że ta nierówność zachodzi dla pewnego 'k' (dla n=4 zachodzi, więc wybierasz jakieś 'k', k≥4 ) k² −k−3>0 (k jest naturalne) więc rozwiązanie tej nierówności to:

	1+√13
k>
	2

	1+√13
k≥4>
	2

więc nierówność 2(k² +k−1)>(k+1)² +k dla k≥4 jest prawdziwa zatem: 2^k+1>(k+1)² +k

Krzysiek: Chyba wziąłeś to 4 z poprzedniego przykładu, ale dzięki tak czy siak

Krzysiek: przepraszam za pomyłkę, tak na poprzedni przykład patrzyłem, powinno być k≥5