AMBITNE ZADANIE, OLIMPIADA na szczeblu wojewódzkim ja123777: Intryguje mnie pewne równanie.Mam do was prośbę: zadanie z poziomu olimpiady matematycznej: Czy prawdą jest że: p² + pq +q² = kwadrat liczby całkowitej (p,q) to liczby pierwsze Może mi to ktoś rozpisać?

Ajtek: Dla p=2, q=3 2²+2*3+3²=19 19 nie jest kwadratem l. całkowitej.

ja123777: A dla innych liczb? wiesz sądze że to za mało. : < Troszkę nie z precyzowałem czy istnieją takie liczby że p2 + pq +q2 = kwadrat liczby całkowitej (p,q) to liczby pierwsze ALE dziękuję za próbę

Ajtek: To jest zupełnie inne zadanie .

Ajtek: Istnieją, np. p=3 q=5

ja123777: strzeliłeś, wywróżyleś xD? a masz jakieś obliczenia do tego wiesz pani mi raczej nie uzna ; / jak jej strzele wynik Ale bardzo dz : )

Ajtek: Podstwaiłem i wyszło .

Eta: p,q −−− liczby pierwsze p²+pq+q²=(p+q)²−pq to: (p+q)²−pq= k² , k€C (p+a)²−k²= pq (p+q+k)(p+q−k)= pq to p+q+k=p p+q−k=q + −−−−−−−−−−−−−−−− 2(p+q)= p+q i ......... dokończ ...

Ajtek: Witaj Eta . U Ciebie jak zwykle pełen profesjonalizm .

ja123777: Pomocy dokończ za mnie, bardzo proszę Eto, zadanie jest ciężkie a ja nieporadny 2(p+q)= p+q I wyznaczyć rozumiem 1 nie wiadomą?: 2(p+q)−p=q 2p+2q−p=q p+2q=q p+q=0 sprzeczność? Naprawdę proszę o pomoc bo: układ chyba* nie wyjdzie ; ///////// {p2+pq+q2=(p+q)2−pq { 2(p+q)= p+q => q=p [nie ma 2 takich samych licz pierwszych] Proszę, 'Ufam w twoją mądrość"

Cahan: Nie. Kwadraty liczb pierwszych podzielne są tylko przez te liczby, przez 1 i przez siebie same. Ta dwie ostatnie włsnoścni możemy pominąć, ponieważ dotyczą one każdej liczby. p2 +pq + q2 nam liczba podzielna przez p + liczba podzielna przez q + liczba podzielna przez pq. W przypadku liczb pierwszych (których kwadraty za wyjątkiem liczby 2 są nieparzyste) z sumy p2, q2 i pq otrzymamy zawsze liczbę nieparzystą. Liczb innych niż liczby pierwsze wynik byłby podzielny przez cyfry takie jak 2,3, 4, 5, 7, 11. W przypadku liczb pierwszych nigdy tak nie będzie. Otrzymany wynik będzie liczbą pierwszą, ale nie będzie kwadratem innej liczby pierwszej. Z oczywistych powodów− liczba pierwsza nie może być bowiem kwadratem innej liczby. Nie wiem czy dobrze i wogóle, ale nic innego nie wymyślę

Eta: Należło dokończyć z tej poprzedniej równości jest sprzeczność to: p+q−k)(p+q+k)= pq=1*pq p+q−k=1 p+q+k= p*q =−−−−−−−−−−− 2(p+q)=1+pq to: 2(3+5) = 1+3*5 16 = 16 p=3 , q=5 lub p=5 , q=3 sprawdzenie: 3²+3*5+5²= 64= 8²=k²

Eta: poprawiam, oczywistą−oczywistość sprawdzenie : 3²+3*5+5²= 49= 7²

ja123777: Okey, jesteś wielka aczkolwiek mam pytanie: aby normalnoe wyznazyc 5 i 3 potrzeba 2 równañ lub można jednego strzelić metodą prób i błędów, jak wyznaczyłaś jakoś p i q? Masz pomysł na 2 równanie, albo masz jakiś wzór, twierdzenie?

+-: p² + pq +q² = =k² p−q=n p² + p(p+n) +(p+n)² = =k² 3*p² +3pn +n²=k² 3*p² +3pn=k²−n² 3*p(p+n)=(k−n)(k+n) 3*p=k+n p+n=k−n _______ 2p−n=2n

	3n
p=
	2

	3n		3n		3n		3n
(		)2+(		)((		)+n)+(		)+n))2=k2
	2		2		2		2

	49
K2=		n2
	4

	7
k=		n
	2

Jak widac n musi być liczbą parzystą /by k było całkowitą/ natomiast p i q, także k są odpowiednio wielokrotnościami liczb 3 i 5 oraz 7 natomiast teza ,że p i q, mają być liczbami pierwszymi, za wyjątkiem p=3 i q=5 jest nieprawdziwa