Rozwiąż niejednorodne równanie rekurencyjne Sebek: Rozwiąż niejednorodne równanie rekurencyjne Witam, proszę o łopatologiczne wytłumaczenie mi poniższego zadania. Dodam, że mam niestety trochę braków i rzeczy oczywiste dla ogółu, dla mnie już takie nie są. a_n = 5a_n−1 − 8a_n−2 + 4a_n−3 + 1 z warunkami początkowymi: a₀ = 0 a₁ = 0 a₂ = 1. Oczywiście "coś" tam mam, jednak nie do końca rozumiem. Postaram się dodatkowo zaznaczyć te fragmenty, które są dla mnie niejasne dobitnie. a_n − 5a_n−1 + 8a_n−2 − 4a_n−3 − 1 = 0 //czy a_n powinno mieć jakiś indeks na dole? q(z) = z³ − 5z² + 8z −4 = (z−1)(z² − 4z + 4) //tutaj mam kolejne pytanie... wcześniej robiłem tak, że gdy było −5_an−2, to zapisywałem jako //−5z²... jednak tutaj zauważyłem, że prawdopodobnie potęgą jest numer wyrazu (liczony od prawej) − 1. Dobrze myślę? W tym miejscu miałem dzielnie wielomianu przez (z−1)... wyszło mi z tego z² − 4z + 4 Pierwszy pierwiastek metodą zgadywania: z₁ = 1 Δ = 0 z_2,3 = 2 a_n^j = A*1ⁿ + B*2ⁿ + C*2ⁿ * n //Tutaj mam zanotowane, że dodaję współczynniki używam odpowiedniego wzoru... jeśli = 1 to wzór "b", jeśli != 1 to wzór "a". Mógłby ktoś mi zapisać te wzory?

	b
Wzór na "c" z którego korzystam: c =		dla b=1
	∑i=1n ixi

//czym jest n oraz ix_i? wzór na a_n^s = c * n n = (?) //co tutaj? Mam rozpisane c w następujący sposób:

	1		1
c =		=		= 1
	5*1 − 8*2 + 4*3		1

//Domyślam się, skąd brane są cyfry do mianownika, jednak nie wiem dlaczego tutaj nie jest policzona suma, tak jak we wzorze. Ponadto ze wzoru wiadomo, że sumujemy od i do n... a ja nie wiem ile wynosi "n". Czy chodzi o to, że (rekurencję rozumiem ale w programowaniu) sumuję aż do czasu osiągnięcia wartości "b"? a_n^s = 1 * n = n a_n = A + B*2ⁿ + C * 2ⁿ * n + n //do ostatnie "n" bierze się z wyniku a_n^s ? Zawsze przepisuję wszystko, co tam wyjdzie?

⎧	a0 = A + B = 0
⎨	a1 = A + 2B + 2C + 1 = 0
⎩	a2 = A + 4B + 8C + 1 = 1

//Czy tutaj jest dowolne, w jaki sposób rozwiążę powyższy układ? Bardzo proszę o nauczenie mnie tego, są to dla mnie na prawdę trudne tematy.

Sebek: //Jeszcze w miejscu, gdzie dodaję współczynniki zapomniałem dopisać, że nie wiem które. Niefart w tym taki, że liczba "1" wychodzi mi z różnych działań, np.: 5−8+4 0+0+1 wyraz wolny =1

Krzysiek: aby rozwiązać równanie rekurencyjne niejednorodne najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne: a_n−5a_n−1+8a_n−2−4a_n−3=0 szukasz rozwiązania postaci: a_n=qⁿ wstawiasz do równania: qⁿ −5qⁿ⁻¹+8qⁿ⁻²−4qⁿ⁻³=0 dzielę stronami przez qⁿ⁻³ (funckja wykładnicza zawsze jest >0 więc nie dzielę przez zero) otrzymuję: q³ −5q² +8q−4=0 (q−1)(q−2)² =0 q=1 lub q=2 (krotności 2) rozwiązanie równania jednorodnego to: a_n=A*1ⁿ +B*2ⁿ +C*2ⁿ*n gdy masz pierwiasttek krotności 'k'−tej wtedy: a_n=c₁ qⁿ +c₂ qⁿ n +...+c_k qⁿ n^k−1 teraz rozwiązujemy równanie niejednorodne, szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań równanie niejednorodne jest postaci: a_n−5a_n−1+8a_n−2−4a_n−3=1 po prawej mamy wielomian stopnia zerowego więc przewidujemy rozwiązanie postaci: a_n=Q jednak to rozwiązanie zawiera się w rozwiązaniu jednorodnym ( Q=Q*1ⁿ ) więc pomnażamy przez 'n' a_n=Q*n wstawiając do równania niejednorodnego i wyznaczając Q Qn−5Q(n−1)+8Q(n−2)−4Q(n−3)=1 5Q−16Q+12Q=1 Q=1 zatem rozwiązanie szczególne jest postaci: a_n=n (gdyby po prawej stronie był wielomian np. stopnia drugiego to rozwiązanie przewidujemy w postaci: zn² +xn+v ,z,x,v−wyznaczamy) gdy po wstawieniu tego rozwiązania otrzymujesz sprzeczność albo ∞ wiele rozwiązań,znaczy że to rozwiązanie zawiera się w rozwiązaniu jednorodneym i pomnażasz je przez 'n' zatem rozwiązanie równania niejednorodnego to: a_n=A*1ⁿ +B*2ⁿ +C*2ⁿ*n +n i teraz wstawiasz warunki początkowe i wyliczasz A,B,C

Sebek: Dzięki za poświęcony czas, jednak zupełnie inaczej robiliśmy to na ćwiczeniach. Wynik ten sam a obliczenie wydaje się o wiele prostsze od Twojego. Wolałbym umieć tym moim sposobem, gdyż wtedy przy tablicy nie będę mieszał też innym. Mi też będzie łatwiej zrozumieć.

Sebek:

Krzysiek: Ale czego nie rozumiesz konkretnie co napisałem? Jak dla mnie poza gotowym wzorem z tym 'b' i 'c' (wzory które nie podałeś) tak samo rozwiązywałem...Jak dla mnie to jest jeden ten sam sposób.

Sebek: Racja, jest to samo. Więc tak: − dlaczego dzielisz przez qⁿ⁻³? Innym sposobem obliczyłeś pierwiastki, ja tego nie zauważyłem i liczyłem deltę. "gdy masz pierwiasttek krotności 'k'−tej wtedy: an=c1 qn +c2 qn n +...+ck qn nk−1" − ja w tym miejscu mam napisane w notatkach, żeby policzyć sumę współczynników, tylko, że nie wiem których. Wiem, że inaczej będzie dla sumy = 1, inaczej dla sumy !=1. Dlaje liczysz coś metodą przewidywań − nigdy o tym nei słyszałem. Na zajęciach to było liczone ze wzorów (a_n^s = c * n), c zależy od "b" −−> i właśnie ten fragment mnie nurtuje najbardziej.

Krzysiek: no bo masz rozwiązać równanie (równanie charakterystyczne) i znaleźć pierwiastki równania dlatego dzielę przez qⁿ⁻³ (qⁿ⁻³>0 ) gdybyś miał przykładowo równanie charakterystyczne: (q−3)³=0 wtedy a_n=A3ⁿ +B3ⁿ *n +C3ⁿ *n² Metoda przewidywań (zapewne nie miałeś równań różniczkowych bo to się z tym wiąże) po prostu mając po prawej stronie wielomian 'k'−stopnia przewidujesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego w postaci wielomianu k−tego stopnia Co do tych wzorów, zapewne to jest właśnie ta metoda przewidywania.. tylko nie napisane jest dlaczego akurat a_n^s=c*n... przecież gdyby po prawej stronie zamiast 1,było by n²+n+2 wtedy ten 'wzór' nie zadziała... Po drugie zamiast korzystać z gotowych 'wzorów' łatwo jest to sobie Samemu wyliczyć tak jak to w poprzednim poście zrobiłem...

Sebek: A mógłbyś nieco bardziej wytłumaczyć dokładnie to "wyliczenie sobie samemu", żeby nie używać wzorów? Co do równań różniczkowych to racja, nie miałem. "po prawej mamy wielomian stopnia zerowego więc przewidujemy rozwiązanie postaci: an=Q jednak to rozwiązanie zawiera się w rozwiązaniu jednorodnym ( Q=Q*1n ) więc pomnażamy przez 'n' an=Q*n wstawiając do równania niejednorodnego i wyznaczając Q Qn−5Q(n−1)+8Q(n−2)−4Q(n−3)=1 5Q−16Q+12Q=1 Q=1 zatem rozwiązanie szczególne jest postaci: an=n" Od tego właściwie nie rozumiem nic. Być może wzory miałem podane takie, że do przykładów, które rozwiązujemy zawsze pasują, ale to tylko moje spekulacje.

Krzysiek: po prawej mamy 1, wyraz wolny więc przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci: a_n^s=Q(czyli też jako wyraz wolny przewidujemy) wstawiając do równania lewa strona nam się wyzeruje i otrzymamy 0=1 więc sprzeczność. a_n^s=Q to rozwiązanie zawiera się w jednorodnym np. dla B=0, C=0, A=Q zawsze jak pierwiastek równania charakterystycznego wyjdzie 1,to przewidywane rozwiązanie szczególne przemnażamy przez 'n' a_n^s=Q*n skoro: a_n=Q*n to a_n−1=Q*(n−1) itd i wstawiamy do równania niejednorodnego i wyznaczamy Q.