ciągi Mini: 1. Czy ciąg jest ciągiem arytmetycznym? a_n=n³−3n²+2n−1+(n−2)³+6n² 2. Suma kwadratów pierwszego i czwartego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 34, a różnica ósmego i trzeciego wyrazu jest równa 5√2. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. 3. Suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest wyrażona wzorem S_n=−n²+3n. Zbadaj, czy ten ciąg jest arytmetyczny.

Mini: pomocy!

PW: Zadanie 3. S_k to suma wszystkich wyrazów ciągu począwszy od pierwszego, a skończywszy na wyrazie o numerze k, tak więc S_k+1−S_k = a_k+1. No to policzmy ten wyraz a_k+1. Zgodnie ze wzorem podanym w zadaniu S_k+1 = −(k+1)²+3(k+1) S_k = −k²+3k a_k+1 = S_k+1−S_k = −(k+1)²+3(k+1) − [ −k²+3k] = = −(k²+2k+1)+3k+3+k²−3k = −2k+2. Podsumowanie: a_k+1 = −2(k−1), czyli a_n=−2(n−2). To ostatnie trzeba dobrze rozumieć: "czyli", bo wyliczyliśmy, że po prawej stronie jest liczba −2 mnożona przez liczbę o dwa mniejszą niż numer wyrazu po lewej stronie. Widać, że ciąg jest arytmetyczny, gdyż dwa sąsiednie wyrazy mają różnicę −2: a_n+1−a_n = −2(n−1) − (−2(n−2)) = −2n+2+2n−4=−2. Odpowiedź. Ciąg jest arytmetyczny. Jego różnicą jest liczba (−2), a pierwszym wyrazem a₁=−2(1−2)=2. Kto nie wierzy − niech sprawdzi, czy rzeczywiście przy takim określeniu ciągu jest Sn=−n²+3n. Warto to zrobić, gdyż aż trudno uwierzyć, ale to już zabawy.