Równanie trygonometryczne kOOrd: 1+sin2x=cos2x sin²x+cos²x+2sinxcosx−cos²x+sin²x=0 2sin²x+2sinxcosx=0 2sinx(sinx+cosx)=0 2sinx=0 /:2 sinx=0 x1= kπ Dotąd potrafię zrobić i wydaje mi się, że jest dobrze. Ale nie wiem co zrobić z (sinx+cosx)=0 ? Liczę na Waszą pomoc.

jikA: Można to zrobić na parę sposobów. Jednym z nich jest sprawdzenie czy cos(x) = 0 jeżeli sprawdzimy że cos(x) ≠ 0 to możemy podzielić przez cos(x) i otrzymamy

sin(x)
	+ 1 = 0
cos(x)

tg(x) = −1 Kolejny sposób

	1
sin(x) + cos(x) = 0 / *
	√2

	1		1
sin(x) *		+		* cos(x) = 0
	√2		√2

	π		π
sin(x) * cos(		) + sin(		) * cos(x) = 0
	4		4

Korzystamy teraz ze wzoru sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x) = sin(x + y)

	π
sin(x +		) = 0
	4

Następny sposób cos(x) = −sin(x) cos(x) = sin(−x)

	π
cos(x) = cos(		− (−x))
	2

	π
cos(x) = cos(		+ x) tutaj korzystamy z cos(x) = cos(y) ⇒ x = y + k * 2π ∨ x = −y + k * 2π
	2

kOOrd: Bardzo Ci dziękuje, jednak dalej mam problemy. Rozwiązując ostatnią metodą jestem tutaj i nie wiem co dalej: cos(x)=cos(^π₂+x) W Twojej wskazówce mam, że teraz korzystamy z cos(x) = cos(y) czyli, że tak?: x=^π₂+x+2kπ lub x=−^π₂−x+2kπ ?

jikA: Tak.

kOOrd: w takim razie z pierwszego mi wychodzi dziwnie bo po przerzuceniu z prawej x na lewo zostaje 0=^π₂ + 2kπ lub 2x=−^π₂+2kπ/:2 x=−^π₄ + kπ A w odpowiedziach: x1=kπ x2=3/4π + kπ ?

jikA: Czyli dla pierwszego masz sprzeczność lub drugie rozwiązanie które jest identyczne z

	π		3
rozwiązaniem z książki ponieważ dla k = 1 dostaniesz x = −		+ π =		π
	4		4

kOOrd: Rzeczywiście. Dziękuję. Jeśli masz czas i ochotę to może jakaś wskazówka w kolejnym przykładzie? cos³x−cos²x=1 Ja to robię tak... cos³x−cos²x−sin²x−1=0 cox³x−cos²x−1+cos²x−1=0 cos³x=2 i co dalej? Chyba, że jest łatwiejszy sposób...

kOOrd: przepraszam, zle podałem przykład wyzje: cos³x−cos2x=1

krystek: Przekształć prawidłowo.

krystek: cos2x= ...zastosuj ten wzór

jikA: cos(2x) = cos²(x) − sin²(x) = 2cos²(x) − 1 wstawiamy to do równania i mamy cos³(x) − 2cos²(x) + 1 = 1 cos³(x) − 2cos²(x) = 0.

kOOrd: Tak, właśnie znalazłem swój błąd. Robiąc dalej: cos²x(cosx−1)=0 cos²x=0 cosx=0 x=^π₂+kπ lub cosx−1=0 cosx=1 x=kπ tak? Bo właśnie w odpowiedziach mam tylko x=^π₂+kπ. co z tym (cosx−1)=0 ?

jikA: Na pewno w nawiasie jest cos(x) − 1?

kOOrd: Rzeczywiście... powinno być cosx−2=0 cosx=2 Czyli brak rozwiązania. Dziękuję Wam!