Dariusz: Kolejne kilka zadan do sprawdzenia i nie tylko: 1) Na stole lezy 5 kawalkow papieru. Dowolnie wybrany kawalek rozrywamy na 4 czesci. Proces ten kontynujemy, tzn za kazdym razem bierzemy jakis kawalek i rozrywamy go na 4 czesci. Czy w ten sposob po pewnej liczbie krokow naszego procesu mozemy uzyskac dokladnie 2007 czesci papieru? Odpowiedz : Nie. Zauwazamy, iz kazde takie rozerwanie powoduje wzrost kartek o 3. Zatem jezeli uzyskanie 2007 kartek jest mozliwe liczba 2007- 5 jest podzielna przez 3. Sprawdzamy jednak i 2002 przystaje do 1 mod 3. Otrzymana sprzecznosc dowodzi iz nie mozna uzyskac dokladnie 2007 kartek. 2) Dowiesc, ze jezeli a² + b² ≤ 2 to a + b ≤ 2. Podzielmy obie nierownosci przez 2, otrzymujemy a² + b² / 2 ≤ 1 oraz a+b/2 ≤ 1 Teraz spierwiastkujmy nasza pierwsza nierownosc i mamy √a² + b² / √2 ≤ 1 Porownujac to z druga nierownoscia mamy √a² + b² / √2 ≥ a+b/2 a to juz jest klasyczna nierownosc Qm≥Am... Jako, ze pierwsza nierownosc ≥ drugiej to konczy to dowod. 3) Dowiesc, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi: (a+b)⁴ ≤ 8(a⁴+b⁴) Jako, ze obie strony sa dodatnie spierwiastkujmy to sobie, tzn ⁴√(a+b)⁴ ≤ p4{8(a⁴+b⁴) Lewa strona wynosi a+b Prawa rozpisze: ⁴√8(a⁴+b⁴) √p{8(a⁴+b⁴) √p{8(a²+b²)² - 16a²b²) √√8(a²+b²) - 4ab) √(√8a²+p{8b²) - 4ab)) √(√8a + p{8b)² - 20 ab)) Mamy wiec √8(a+b) - √-20ab ≥ a+b; p moze to ktos dokonczyc, bo to √-20ab brzydko wyglada; P 4) Uduwodnic, ze wsrod 5 dowolnych liczb calkowitych niepodzielnych przez 5 zawsze istnieja 2 ktorych roznica dzieli sie przez 5. Zauwazamy, ze reszta z dzielenia przez 5 moze wynosic 0 1 2 3 4... jako, ze nasze liczby sa niepodzielne to odrzucamy 0 ... zatem 2 liczby daja taka sama reszte i ich roznica jest podzielna przez 5. 5) Wyznaczyc osttatnia cyfre liczby 2²007 + 3²007 + 4²007 + 5²007... Rozpatrzmy wszystkie liczby... Na poczatek zajmijmy sie 5²007... udowodnijmy nastepujacy lemat... ostatnia cyfra potegi piatki o wykladniku naturalnym zawsze wynosi 5... 5¹ = 5...zauwazamy, ze wielokrotnosc piatki moze miec na koncu 0 lub 5... nastepnie zauwazamy, ze ta cyfra to 0 wtedy i tylko wtedy jezeli jeden z (czynnikow?) jest parzysty, a liczba 5 jest pierwsza i nieparzysta wiec jej potega nigdy nie jest parzysta. Nastepnie rozpatrzmy 3²007 (bo latwe) Zauwazamy, ze 3² przystaje do 9 ktoro przystaje do -1 mod 10 Tak wiec 3²007 rowna sie 3² * 3¹⁰⁰³ * 3 co przystaje do 1 * -1 * 3 czyli przystaje do -3 mod 10 ktoro przystaje do 7 mod 10 Nastepnie zajmijmy sie 2 bo przeciez 2² = 4 wiec bedzie nam latwiej ; p 2¹ = 2 2² = 4 2³ = 8 2⁴ = 16 co przystaje do -4 mod 10 Zatem zauwazamy pewna prawidlowosc...otoz 2⁴n przystaje do -4 a 2²n do 4 .... 2²007 = 2 * 2²n ; p tzn 8; p oczywiscie wszystko w mod 10... Pozostalo 4...ale 4²007 = 2²007 * 2²007 co przystaje do 64 mod 10 czyli 4... Zatem nasza ostatnia cyfra wynosi 4+ 8 + 5 + 7 mod 10 czyli 4