Wykaż Dołp: Założenie: a + b = 1 Twierdzenie : a² + b²≥ 0,5

jikA: a + b = 1 ⇒ b = 1 − a

	1
a2 + (1 − a)2 ≥
	2

	1
a2 + 1 − 2a + a2 −
	2

	1		1
2a2 − 2a +		≥ 0 / *
	2		2

	1
a2 − a +		≥ 0
	4

	1		1
(a)2 − 2 *		* a + (		)2 ≥ 0 x2 + 2 * x * y + y2 = (x + y)2
	2		2

	1
(a −		)2 ≥ 0
	2

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Co kończy dowód.

Dołp: Dzięki Wielkie

PW: A gdybyś znał twierdzenie o nierówności między średnią arytmetyczną kwadratów a kwadratem średniej arytmetycznej

	x2+y2		x+y
		≥ (		)2,
	2		2

to byś rozwiązał w jednej linijce:

	a2+b2		a+b		1		1
		≥ (		)2=(		}2=
	2		2		2		4

(pisząc równość wykorzystaliśmy założenie a+b=1). Dlatego zachęcam do opanowania takich nierówności − niezależnie od tego, czy Komisja Egzaminacyjna zaleca te wzory, czy nie. Wolno wiedzieć więcej, a jakie to bywa użyteczne.