wielomiany zespolone Łukasz: mam pytanie odnośnie wielomianów zespolonych. Mam taki przykład: z⁶+64=0 wiem, że można to wykonać poprzez pierwiastkowanie liczby zespolonej, że "z" równa się pierwiastkowi 6 stopnia z −64, ale chciałem spytać czy jest możliwość wykonania tego zadania metodą Hornera. Skoro jest potęga 6 stopnia to nie ma możliwości znaleźć podzielnika z 64 tak aby wyszedł wynik 0 bo zawsze będzie dodatnia liczba przy "z".

jikA: W(z) = z⁶ + 64 W(2i) = (2i)⁶ + 64 = 64 * (−1) + 64 = 0 W(−2i) = (−2i)⁶ + 64 = 64 * (−1) + 64 = 0

Łukasz: można tak, że 2i jest dzielnikiem liczby 64?

jikA: Nie jest dzielnikiem ale wystarczy zauważyć że pierwiastkiem tego wielomianu są liczby z = ±2i (z twierdzenia Bézouta to pokazaliśmy ponieważ W(±2i) = 0) tak więc wiemy że W(z) = z⁶ + 64 jest podzielny przez dwumian z + 2i oraz z − 2i czyli przez z² + 4.

jikA: Lub zrobić taką rzecz z⁶ + 64 = 0 z⁶ = −64 (−64 = (±2i)⁶) ⇒ z = ±2i lecz zostają nam pozostałe 4 pierwiastki które łatwo da się obliczyć.

Łukasz: dzięki

Mila: z=⁶√−64 |−64|=64 φ=π

	(π+2kπ)		(π+2kπ)
zk=6√64(cos		+isin		) gdzie k∊{0,1,2,3,4,5}
	6		6

	π		π		√3		1
z0=2(cos		+isin		)=2(		+i		)=√3+i
	6		6		2		2

	3π		3π
z1=2(cos		+isin		=2i
	6		6)

	5π		5π		√3		1
z2=2(cos		+sin		=2(−		+		i)=−√3+i
	6		6		2		2

	7π		7π
z3=2*(cos		+isin		=√3−i
	6		6

	9π		9π
z4=2(cos		+isin		)=2(0−1i)=−2i
	6		6

	11π		11π
z5=2(cos		+isin		)= dokończ
	6		6

Łukasz: Dzięki Mila za poświęcony czas

Mila: