równania wielomianowe z parametrem magda: Cześć. Mam probleem z założeniami do zadania. robiliśmy takie zadanie dla jakich wartości parametru m równanie x⁴+(1−2m)x²+2m²+ 0,25=0 nie ma rozwiązań. I tutaj za x²= t. Jeśli równanie nie ma rozwiązań to Δ<0, to wiem. Jednak zastanawiają mnie kolejne założenia. w sumie z poprzednim założeniem: koniunkcja warunków :Δ≥0 i t1t2>0 i t1+t2<0. Porsze osobę cierpliwą i chętną mi to wytłumaczyć gdyż na prawdę nie wiem skąd to się wzięło.

Artur_z_miasta_Neptuna: zauważ ... podstawiając x²=t ... tutaj aby były miejsca zerowe to t≥0 Δ≥0 i t1t2>0 i t1+t2<0 <−−− te warunki mówią o tym, że równianie z parametrem 't' ma co prawda miejsca zerowe ... ale oba są ujemne co za tym idzie ... żadne z nich nie spełnia warunku podstawienia −− x² = t ... czyli nadal dla 'x' nie ma pierwiastków rozumiesz o co mi chodzi

MQ: Chodzi o to, że jeżeli masz rozwiązanie , gdzie t<0, to też nie ma rozwiązań, bo t=x² i musi być ≥0. Ta koniunkcja warunków zapewnia ci, że jeżeli istnieją rozwiązania dla t, to oba t są mniejsze od 0. Czyli dla x nie ma rozwiązań.

magda: Coś już świta... jednak zastanawia mnie dlaczego w tym poprzednim warunku jest Δ≥0. A co by się stało gdyby załozyć tylko ten warunek że Δ<0 ?

Artur_z_miasta_Neptuna: ale oba warunki są liczone albo Δ<0 więc pierwiastków nie ma dla t albo Δ≥0 czyli t będzie miał pierwiastki ... ale warunki t1t2>0 i t1+t2<0. załatwiają, ze będa to ujemne pierwiastki

Artur_z_miasta_Neptuna: w obu przypadkach żaden 'x' nie spełni warunki x² = t_..

Artur_z_miasta_Neptuna: bo albo te 't' nie będa istnieć albo będa ujemne

Aga1.: Gdyby Δ<0 to zadanie w części byłoby rozwiązane.

magda: Aha ok, a ja zachowuje się w tym 0?

Artur_z_miasta_Neptuna: hę jeszcze raz

magda: Jejku przepraszam ! już wszystko wiem. Po prostu sobie źle popatrzyłam i głupote napisałam a jeszcze gdy jak chce w podobynm zadaniu założyć ze równanie ma dwa różne pierwiastki to Δ>0. jednak dlaczego nie może być Δ≥0. po przecież gdy np. t=2 to x²=2 czli x=√2 lub √−2

magda: jejku sorki ten minus przed pierwiastkiem rzecz jasna

Aga1.: A gdy t=−4 to x²=−4 nie ma rozwiązań. x²=2⇒x=√2 v x=−√2

magda: tylko że nie wiem dlaczego jest takie założenie żeΔ>0 przy zadaniu w któym trzrba wyznaczyćc parametr m tak ABY BYŁY DWA RÓŻNE PIERWIASTKI. bo w sumie Δ≥0 wkazuje na 1 pierwiastek podwójny. Ale to tyczy się t. A nie x, dobrze rozumiem.

Aga1.: Najlepiej jak napiszesz treść zadania.

Artur_z_miasta_Neptuna: pokaż zadanie ... może sa dodatkowe jakies zalozenia o ktorych nam nie mówisz ogólnie mogłoby byc Δ_t = 0 ... przy założeniu dodatkowym t₁>0 + druga możliwość Δ_t >0 ⋀ t₁*t₂ < 0

PW: Δ=(1−2m)²−4^.1^.(2m²+0.25) = 4m²−4m+1−8m²−1=−4m²−4m=−4m(m+1) Wiemy o co idzie: jeśli Δ<0. to równanie t²+(1−2m)t+2m²₀,25 = 0 nie ma rozwiązań. Sprawdzamy, że t=0 nie jest pierwiastkiem, bo 0²+(1−2m)^.0+2m²+0.25 ≠ 0 Jeśli Δ≥0, to rozwiązania są, ale my szukamy pierwiastków dodatnich, bo podstawiając t=x² zakładamy automatycznie, że t>0. Doświadczeni piszą: podstawiamy x²=t>0. Stąd nakładane są warunki wynikające z wzorów Viete'a. Jak zagwarantować, że dwie liczby t₁ i t₂ są dodatnie? Pierwszy warunek t+1^.t₂≥0 daje pewność, że liczby te są jednakowych znaków (obie ujemne albo obie dodatnie), a dopiero drugi warunek t₁+t₂>0 razem z pierwszym gwarantuje, że obie liczby są dodatnie. Tak więc w Twoim zapisie jest błąd, powinno być: −4m(m+1)≥0 i (t₁^.t₂>0)∧(t₁+t₂>0). Byłem cierpliwy?

magda: ok. Dla jakich wartości parametru m równanie x⁴+2(m−2)x²+m²−1=0 ma dwa różne pierwiastki.

magda: zastanawia mnie to dlaczego nie moze być razem w koniunki warunek Δ≥0 t1t2<0

jikA: Możesz użyć koniunkcji dla Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0 bo dla Δ = 0 otrzymasz t₁ = t₂ (t_o) co w tym wypadku by dało że t₁t₂ < 0 ⇒ t_o² < 0.

Artur_z_miasta_Neptuna: PW ... przecież dla takich warunków będą mogły istniec dwa pierwiastki dodatnie t₁, t₂ w konsekwencji mamy 4 pierwiastki dla 'x'

PW: Tak jak poprzednio. Po znalezieniu tych pierwiastków t₁ i t₂ stwierdzamy, że t²−2(m−2)t+m¹−1 = (t−t₁)(t−t₂), czyli x⁴+2(m−2)x²+m²−1 = (x²−t₁)(x²−t₂) Żeby były dokładnie dwa pierwiastki, to t₁ musi być ujemny i jednocześnie t₂ dodatni (zakładam t₁<t₂). Trzeba więc odpowiednio sformułować warunki za pomocą wozrów Viete'a.

magda: aha ok, dzięki.

PW: Arturze, Masz rację, odpowiadając na drugie zadanie pokazałem jednocześnie jak dokończyć pierwsze? Nieuchronnie zmierzamy do liczb zespolonych. .

PW: Jeszcze raz: magda, podziękowałaś, ale nie miałem racji pisząc ten czerwony plus (miałem już zasłoniętą treść zadania i zacząłem je rozwiązywać − szukać czterech pierwiastków (czyli dodatnich t₁ i t₂) zamiast określić, kiedy nie ma żadnych. Miałaś postawione dobre warunki: żeby równanie x²+2(m−2)x²−1=(x²−t₁)(x²−t₂) = 0 n i e m i a ł o pierwiastków, obie liczby t₁ i t₂ muszą być u j e m n e, czyli t₁^.t₂ = 0 ⋀ t₁+t₂<0. Artur słusznie na to zwrócił uwagę, za co mu wielkie dzięki. Przy drugim zadaniu już tego błędu nie popełniłem.