Rozwiąż równanie i nierówności trygonometryczne: olek: Rozwiąż równanie i nierówności trygonometryczne: a) |sinx| = sin2x b) cos2x / cosx <1 dla x∊ (0,π) c) cos2x / sinx <1 dla x∊ (−π/2, π/2)

loitzl9006: a) Równanie to można przedstawić w postaci |sin(x)|=2sin(x)cos(x) najpierw zauważmy, że jeżeli sin(x)=0 , to równanie jest spełnione. Zatem na pewno x=kπ dla k całkowitego Teraz rozwiązujemy równanie dla x≠kπ Podzielimy równanie obustronnie przez sin(x)

|sin(x)|
	=2cos(x)
sin(x)

lewa strona może być albo równa 1, albo −1 w zależności od tego czy sin(x)>0 czy sin(x)<0 Dla sin(x)>0 1=2cos(x)

	1
cos(x)=
	2

	π		π
x=		+2kπ lub x=−		+2kπ
	3		3

	π
ale drugie odrzucasz, bo dla x=−		+2kπ
	3

sinus x jest ujemny, a na początku założyliśmy że sin(x)>0 Dla sin(x)<0 −1=2cos(x)

	1
cos(x)=−
	2

	2π		2π
x = −		+ 2kπ lub x =		+ 2kπ
	3		3

	2π
Drugie odrzucasz, bo dla x =		+ 2kπ sinus x jest dodatni a miał być ujemny
	3

ostateczne rozwiązanie

	2π		π
x = −		+ 2kπ lub x=		+2kπ lub x=kπ
	3		3

b) dziedzina: cos(x)≠0

	π
x≠		+kπ
	2

wykorzystajmy tożsamość cos(2x)=2cos²x−1

	2cos2(x)−1
		< 1
	cos(x)

podstawmy cos(x)=t; z zastrzeżeniem że t∊<−1;1> \ {0}

	2t2−1
		< 1
	t

	2t2−t−1
		< 0 | *t2
	t

mnożymy razy t² (liczbę dodatnią) więc znak nierówności bez zmian (2t²−t−1)*t<0 delta z 2t²−t−1 jest równa 9, więc pierwiastek to 3,

	1−3		1
t1=		=−
	4		2

	1+3
t2=		=1
	4

	1
2(t+		)(t−1) * t < 0
	2

rysujemy "wężyk", odczytujemy rozwiązanie

	1
t ∊ (−1;−		) ∪ (0;1)
	2

a więc

	1
( cos(x) > −1 ∧ cos(x) < −		) ∨ ( cos(x) > 0 ∧ cos(x) < 1 )
	2

dokończ c) tożsamość cos(2x)=1−2sin²(x) po lewej i podstawiasz sin(x)=t, dalej podobnie jak w drugim

olek: dzieki wielkie