całki Marcim: Mam problem z liczeniem całek gdy mianowniik ma wiecej niż jeden składnik. prosze o pomoc w tym przykladzie:

	3x
∫		dx
	√1+x2

Artur_z_miasta_Neptuna: podstawienie t= 1+x² dt = 2x dx

Marcim: nie da sie innym sposobem niż podstawianie?

Artur_z_miasta_Neptuna: możesz przez części: ale nie sądzę aby to było szybkiej i łatwiej

Marcim: a możesz wytłumaczyć jak zrobić to przez podstawianie bo niestety nie wiem jak?

Artur_z_miasta_Neptuna: t=1+x²

	3		3
dt = 2x dx ⇒		dt =		2xdx = 3dx
	2		2

i masz całkę:

	3   dt 2		3		dt
∫		=		∫		= ... i chyba sobie poradzisz dalej
	√t		2		√t

Artur_z_miasta_Neptuna:

	3
oczywiście		2xdx = 3xdx
	2

Marcim: nie rozumiem drugiej linijki. skąd takie dt to wiem ale dalej nie za bardzo..

Marcim:

Artur_z_miasta_Neptuna: pochodna z 't' to dt pochodna z 1+x² to 2x dx

maniek:

	3x
∫		dx
	√1 + x2

t = x² + 1

dt
	= 2x
dx

dt = 2xdx

	3   dt 2		3		3t1/2
∫		=		∫t−1/2dt =
	√t		2		4

Artur_z_miasta_Neptuna: +C

maniek: zgadza się podstawiasz za t = x² + 1 i na końcu + C

Marcim: jestem z tego bardzo kiepski i dalej nie do koncza rozumiem..dlaczego jest taka zależność

	dt		3
		i jak w ostatniej linijce w liczniku powstawło		dt
	dx		2

Aga1.: chcesz, by w liczniku była pochodna mianownika, czyli 2x, a masz 3x, więc robisz taką sztuczkę

	3
3x=2x*
	2

Marcim:

	dt
oo już si trochę rozjaśnia a skąd w ogóle to		z jakiegoś twierdzenia? Dlaczego
	dx

własnie tak to się robi? Sorki, że tak wypytuje ale chcę to zrozumieć a nie kuć na blaszkę schematy robienia

Artur_z_miasta_Neptuna:

	dt
pochodna z funkcji t po zmiennej x =		<−−− tak się zapisuje ... jeżeli nie miałeś
	dx

różniczek to po prostu przyjmujesz że tak jest i koniec

Marcim: ok, dzięki jeszcze tylko zapytam o jedną istotną rzecz bo w sumie nie pomyślałem wczesniej o tym. Wyrwałem ten przykład z jednego zadania które w pełni wygląda tak:

	2		3x
∫ ex −		+		czy mogę zastosować podstawianie tylko w ostatniej części?
	x		√1+x2

Marcim:

Artur_z_miasta_Neptuna: Uwaga wyrażenie całkowane w nawiasie i za nawiasem 'dx' Krok 1 dzielisz tą całke na sumę/różnicę 3 całek Krok 2 obliczasz każdą całke niezależnie Krok 3 w trzecież stosujesz podstawienie o którym mówiliśmy

Marcim: ok dzięki

Marcim: wychodzi mi 3√1+x² a w odpowiedzi jest 6√1+x² co robię źle?

Artur_z_miasta_Neptuna: pokaż swoje obliczenia

Marcim:

	3x		3/2dt		3(x2+1)1/2
∫		= ∫		=		= 3√1+x2
	√1+x2		√t		2*1/2

Marcim:

Artur_z_miasta_Neptuna: dobrze Ci wyszło ... nie wiem dlaczego tak jest w odpowiedzi

Marcim: no ja własnie też nie..

PW: @Marcim: Zawsze przecież można sprawdzić obliczając pochodną:

	1		1		3x
[3√1+x2]' = 3		.(1+x2)' = 3		.2x =		, a więc
	2√1+x2		2√1+x2		√1+x2

Twoja odpowiedź jest dobra. Ale nie po to piszę, bo wszyscy wiemy, jak sprawdzić odpowiedź. Właśnie w momencie sprawdzania widać doskonale, skąd wzięła się metoda całkowania „przez podstawienie” − ano właśnie ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: [f(g(x)]' = f'(g(x)^.g'(x). Patrząc na powyższe zadanie ja myślę tak:

	1
O, widzę,		to pochodna: √g(x), dobrze by było, gdyby to jeszcze było pomnożone
	2√g(x)

przez g'(x) − o, jest, bo g(x)=(1+x²), a więc g'(x)=2x. Zapisuję sobie: f(g(x)) = √1+x², g'(x)=2x, f(g(x)) = ∫f'(g(x)g'(x))dx, czyli

	1
√1+x2 = ∫		.2x . Po pomnożeniu obu stron przez czynnik 3 dorzucony przez
	2√1+x2

złośliwego autora mam wynik. Nigdy nie używałem tego podstawienia t=g(x) i jakoś rozumiałem to może lepiej.

Aga1.: A ja nie robiłabym żadnego podstawienia, tylko skorzystałabym z gotowego wzoru

	f'(x)
∫		dx=2√f(x)+c
	√f(x)

A tu

	3x		3*22x
∫		dx=∫		dx=
	√1+x2		√1+x2

3		2x		3
	∫		dx=		*2√1+x2+c=3√1+x2+c.
2		√1+x2		2