obliczyć logarytm milunia390: log_x 8 − log₄x 8 = log₂x 16 Wiem, że trzeba to sprowadzić do podstawy 2, ale nie było mnie na lekcji i nie wiem jak to zrobić, bardzo proszę o pomoc!

asdf: wzorem:

	logcb
logab =
	logca

za c podstawiasz dwójkę

milunia390: ok, doszłam do takiego momentu: 3/log₂ x − 3/log₂ 4x = 4/log₂ 2x i co dalej? co zrobić z mianownikami?

asdf: a dziedzina?

milunia390: x>0 różne od 1,2,4 ?

asdf: w drugim i w trzecim to w podstawie co masz bo nie wiem: 4^x i 2^x?

milunia390: nie, bez potęgowania, normalnie 4x i 2x

asdf: 1) x>0 x≠1 2) 4x >0 4x≠1 3) 2x>0 2x≠1

milunia390: o, masz rację, zamiast podzielić pomnożyłam, czyli x będzie różne od 1, 1/2, 1/4 to dziedzinę mamy załatwioną, ale co dalej z działaniem, bo muszę ja rozwiązać...

asdf: robię.

milunia390: dziękuję! mam odpowiedzi i x powinno wyjsć √2/4 i 2, ale ja niestety nie mogę dojść do tych wyników

asdf: nom, troche motania jest z tym, ale moze zaraz mi się uda rozwiązać, za 10 minut sie odezwe.

milunia390: ok, czekam

asdf: może dam to co mi wyszło, nie mogę jednej rzeczy policzyć (albo mam złe równania): log_x8 − log_4x8 = log_2x16 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	logx8
log4x8 =
	logx4x

	logx16
log2x16 =
	logx2x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	logx8		logx16
logx8 −		=
	logx4x		logx2x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− log_x8 = log_x2³ = 3log_x2 i tak każde.. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	3logx2		4logx2
3logx2 −		=
	logx4x		logx2x

	3logx2		4logx2
3logx2 −		=
	1+logx4		1+logx2

	3logx2		4logx2
3logx2 −		=
	1+2logx2		1+logx2

−−−−−−−−−−−−−−−−− t = log_x2 −−−−−−−−−−−−−−−−−

	3t		4t
3t −		=
	1+2t		1+t

−−−−−−−−−−−−−−−−−

	3t(1+2t)
3t =		<−− zeby do wsp. mianownika dać
	1+2t

−−−−−−−−−−−−−−−−−

3t + 6t2 − 3t		4t
	=
1+2t		1+t

6t2		4t
	=
1+2t		1+t

−−−−−−−−−−−−−−− mnoże na krzyż −−−−−−−−−−−−−−− 6t²(1+t) = 4t(1+2t) 6t² + 6t³ = 4t + 8t² // na jedną stronę 6t³ + 6t² − 8t² − 4t = 0 6t³ − 2t² − 4t = 0 t(6t² − 2t − 4) = 0 t = 0 6t² − 2t − 4 = 0 Δ = 4 + 4*4*6 = 100 √Δ = 10

	2 − 10		2
t1 =		= −
	12		3

	2+10
t2 =		= 1
	12

−−−−−−−−−−−−−−−−

	2
t0 = 0; t1 = −		; t2 = 1
	3

−−−−−−−−−−−−−−−− podstawiając: log_x2 = t log_x2 = 0 →x⁰ = 2 (sprzeczność!)

	2
logx2 = −		→ x−2/3 = 2 (i tu nie wiem jak to rozwiązać, pewnie łatwo...)
	3

log_x2 = 1 → x¹ = 2; x= 2 Trzymaj, pewnie da się krócej, ale "każde rozwiązanie dobre jest dobre"

asdf: to drugie też mi się udało rozwiązać i się zgadza z odpowiedzią, paczaj: x^−2/3 = 2 // ^−3/2 x¹ = 2^−3/2

	1
x = (		)3/2
	2

	1
x = (		)1/2
	8

	1
x =
	√8

	1
x=
	2√2

1		√2		√2		√2
	*		=		{√2} =
2√2		√2		2*√2		4

	√2
x =
	4

Dominik: log_x8 − log_4x8 = log_2x16 sprowadzam wszystko do podstawy x

	logx8		logx16
logx8 −		=		upraszczam mianowniki
	logx4x		logx2x

	logx8		logx16
logx8 −		=		sprowadzam wszystkie logarytmy do
	1 + logx4		logx2 + 1

postaci a * log_x2

	3logx2		4logx2
3logx2 −		=
	1 +2logx2		logx2 + 1

log_x2 = t zmienna pomocnicza

	3t		4t
3t −		=		lewa strona do wspolnego mianownika
	1 + 2t		t+1

3t + 6t2		3t		4t
	−		=		dodaje ulamki
1 + 2t		1 + 2t		t+1

6t2		4t
	=		mnoze na krzyz
1 + 2t		t+1

6t³ + 6t² = 8t² + 4t sprowadzam wszystko na lewa strone, porzadkuje i dziele przez 2 3t³ − t² − 2t = 0 t(3t² − t − 2) = 0 t(t − 1)(3t + 2) = 0

	2
t = 0 v t = 1 v t = −
	3

	2
logx2 = 0 v logx2 = 1 v logx2 = −
	3

x⁰ = 2 − sprzeczne (bo kazda liczba do potegi 0 wynosi 1) x¹ = 2 ⇒ x = 2

	√2
x−23 = 2 ⇒ x =
	4

milunia390: ok, dziękuję za pomoc, pokombinuję jeszcze coś sama...

milunia390: omg, ale mi komputer laguje... Dziękuję Wam bardzo!

asdf: prosze.