Dariusz: Mam prosbe...sprawdzilby mi ktos jedno zadanko? Dokladniej: Wykaz, ze dla a>0, b>0, x>0, y>0 oraz a+b=1 i xy=1 zachodzi: (ax+b)(ay+b)≥1 Ja to robilem tak: ((1-b)x + b)((1-b)y+b) ≥1 (x-bx+b)(y-by+b)≥1 xy-byx+xb-bxy+xyb²-xb²+by-yb²+b²≥1 1-b+xb-b+b²-xb²+by-yb²+b²≥1 1-2b+xb+2b²-b²(x+y) + by ≥ 1 2b² + xb + yb ≥ 2b + xb² + yb² 2b+x+y ≥ 2+bx + by 2b + x + y +ay ≥ 2 + bx + y 2b + x + y + ay + ax ≥ 2 + x + y 2b + ay + ax ≥ 2 2 - 2a + a(y+x) ≥ 2 a(y+x) ≥ 2a (x+y) ≥ 2 Teraz maly lemacik; jezeli xy = 1 to jezeli x,y > 0 to x+y≥ 2 Dowod: x+y ≥ 2 x² + 2xy + y² ≥ 4 x² + y² ≥ 2xy x² - 2xy + y² ≥ 0 (x-y)² ≥ 0 Co jest prawda. Na mocy powyzszego lematu mamy, ze 2≥ 2 Co jest prawda. Mam pytanie, czy taki dowod nierownosci jest prawidlowy?

Jakub: Ufff prześledziłem, całe rozwiązanie i nie znalazłem błędu. Kilka uwag. 1. Zamiast na końcu wprowadzać lemat i jego dowód ja bym ciągnął rozwiązywanie tak x+y≥2 x+1/x ≥ 2 /*x (mogę bo x>0) x²+1 ≥ 2x x²-2x+1 ≥ 0 (x+1)² ≥ 0 co jest prawdą dla każdego x 2. Pisząc rozwiązanie wyszedłbym od zdania prawdziwego czyli tak: Wychodząc z nierówności (x+1)²≥2 prawdziwej dla każdego x otrzymuję x²+2x+1≥2 ... x+y≥2 i dalej już twoje rozwiązanie od dołu do góry i na samym końcu bym doszedł do nierówności, którą mam udowodnić. 3. Więcej komentarzy, bo czasami ciężko się domyśleć np. było: b+x+y ≥ 2+bx + by a jest: b + x + y +ay ≥ 2 + bx + y Takie uwagi mi przyszły do głowy, ale w sumie nieważne, bo twoje rozwiązanie jest dobre.

Dariusz: Ok, dzieki wielkie Mam takie pytanie jeszcze...czy tego typu rozwiazania sa poprawne, tzn czy mozna przeksztalcac nierownosc ktora mamy udowodnic az dojdziemy do tozsamosci, czy musimy jakas tozsamosc przeksztalcic do naszej nierownosci?

Jakub: Twoje rozwiązanie jest poprawne, bo każda kolejna nierówność w twoim rozwiązaniu jest równoważna poprzedniej, co oznacza, że ostatnia nierówność jest równoważna pierwszej, co oznacza, że jak ostatnia nierówność jest prawdziwa to pierwsza też jest prawdziwa. Tak więc rozwiązanie jest prawidłowe. Nie zmienia to jednak tego, że bardziej elegancko by wyglądało jak byś napisał w rozwiązaniu: wychodzę z nierówności prawdziwej (x-y)²≥0 (tutaj przekształcenia, przekształcenia, ...) i dochodzę do tego co miałem udowodnić.