rownania funkcyjne zombi: Wyznaczyć wszystkie funkcje f: R → R x,y∊R f(x+y)+f(x−y) = 2f(x) cosy Próbowałem różnych podstawień, ale zazwyczaj dochodziłem do tożsamości. Więc nie wiem do końca jak to zrobić. Ktoś pomoże ?

zombi: Podbijam

ZKS: Nie wiem czy w ogóle coś dobrze myślę o tej porze ale mam coś takiego. Dla y = 0 mamy f(x) + f(x) = 2f(x) dla x = 0 mamy f(y) + f(−y) = 2cos(y) dla x + y = 0 mamy 1 + f(−2y) = 2f(−y)cos(y) dla x − y = 0 mamy f(2y) + 1 = 2f(y)cos(y) 2f(−y)cos(y) − f(−2y) = 2f(y)cos(y) − f(2y) ⇒ f(−y) = f(y) 2f(y) = 2cos(y) f(y) = cos(y).

zombi: Możliwe nie mam odpowiedzi, dlatego nie wiem, ale postaram się to ogarnąć jeszcze jutro na spokojnie... Dzięki wielkie to jest ładniejsze od moich śmiesznych wyliczeń

ZKS: Jeżeli jest to poprawne to w ten sam sposób obliczysz f(x).

zombi: A z tymi równaniami i nierównościami zawsze leci się metodą "znajdź spoko podstawienie" ? Czy są jakieś inne sposoby?

ZKS: Z jakimi równaniami i nierównościami?

zombi: funkcyjnymi, bo pan nie tłumaczył nam dużo na temat. równań funkcyjnych i powiedział, że zazwyczaj jest jakieś spoko podstawienie, tylko czy to jedyna możliwość

ZKS: W liceum masz takie rzeczy? Musisz mieć niezłego nauczyciela jeżeli tak.

ZKS: Poczytaj sobie http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne

zombi: No, w liceum, tylko że pan tak szybko zazwyczaj tłumaczy, że ciężko jest się połapać. Mówił, ze można podstawiać w większości przypadków 0,1,2..., ale trzeba być kozakiem, żeby szybko, dobre wnioski wyciągać i polecił nam szukanie zazwyczaj podstawień z x−ami i y−ami. Tylko muszę teraz nabrać wprawy w tym wyłapywaniu...

Mila: ZKS, myślę, że z tematyką olimpiad nieco przesadzają.

zombi: Łatwe na rozluźnienie Znajdź wszystkie takie wielomiany W takie, że x*W(x−1)=(x−2009)*W(x) Podstawiając x=0 zauważamy, że W(0)=0 x=1 ⇒ W(1)=0 . . . x=2009 ⇒ W(2008)=0 Zatem wielomian W(x) musi mieć postać W(x)=x(x−1)(x−2)...(x−2008)Q(x) tak to się robiło?

Vax: Ale to jeszcze nie koniec, mamy W(x) = x(x−1)(x−2)...(x−2008)Q(x) dla pewnego wielomianu Q, wstawiając to do wyjściowego równania dostajemy: x(x−1)(x−2)...(x−2009)Q(x−1) = x(x−1)...(x−2009)Q(x) ⇔ Q(x) = Q(x−1),więc Q(x) jest wielomianem stałym, stąd wszystkie wielomiany spełniające tezę są postaci: W(x) = a* x(x−1)(x−2)...(x−2008), a ∊ ℛ Co do rozwiązania ZKS to niestety nie jest ono poprawne, gdyż zakłada on, że f(0) = 1 (m. in po podstawieniu x=0), a tego nie wiemy. Np inną funkcją spełniającą wyjściowe równanie jest f(x) = sinx

zombi: Boże no tak, a ja sobie zapisuję lewą stroną na spokojnie x(x−1)(x−2)... i nagle zapisałem (x−2007) i na tym skończyłem dlatego coś mi nie hulało A nad tym równaniem funkcyjnym pomyśle jeszcze