zadanie prawie jak naukowiec: mam problem z takim oto zadaniem : jednym z roziwązań równania 3x³+ax²+bx+12=0 gdzie a,b ∊Cjest liczba 1+√3 znadź a i b moje dorgie słoneczka matematyczne pomózcie mi, czyli temu "mądremu" inaczej

krystek: podstaw za x i zobacz co otrzymasz . Wg mnie potrzebny jest jeszcze jeden warunek.

Modern: Mam dokładnie to samo zadanie, i też mi się zdaje, że potrzebny jest jeszcze jeden warunek. Podstawienie nic nie da niestety.

Mat: a może 2a(2+√3) + b (1+√3) + 15(1+√3)=0 i szukasz dla jakich a,b równanie ma dwa pierwiastki

AC: Wstaw za x=1+√3 i przyrownaj do zera, ponieważ a,b ∊C otrzymasz dwa równania bo części całkowite muszą się wyzerować oraz współczynnik przy √3 i z nich wyliczysz a i b. Jeśli się nie pomyliłem to: a = 0 ⋀ b = −18

prawie jak naukowiec: kurcze nie wychodzi mi

Eta: Skoro jednym pierwiastkiem jest x₁= 1+√3 to drugim musi być x₂= 1−√3 ze wzorów Viete^a dla równania : ax³+bx²+cx+d=0

	−d
x1*x2*x3=
	a

	−12
to: x1*x2*x3=		= −4⇒ (1+√3)*(1−√3)*x3= −4 ⇒ −2x3= −4 ⇒ x3=2
	3

i mamy: 3(x−1−√3)(x−1+√3)*(x−2)=0 3(x−2)(x²−2x−2)=0 3x³−12x²+6x+12=0 a= −12 , b= 6

PW: @Eta: Muszę zapytać, bo mnie zablokowało. "Skoro jednym pierwiastkiem jest 1+√3, to drugim musi być 1−√3". To genialna heureza, czy jest na to naukowe wytłumaczenie? Bo zastanawiam się: gdyby podali, że znany jest pierwiastek x₁=2, to (nie wykonując dzielenia) jaki można wyciągnąć z tego wniosek o innych pierwiastkach?

PW: @Eta: Chyba dzisiaj nie będę spał. Tłumaczysz mi to co ja wiem, a Ty rozumiesz. Ja wiem, że jeśli pierwiastki są − mówiąc umownie −"sprzężone", to równanie kwadratowe ma współczynniki całkowite. Ale Ty zastosowałaś stwierdzenie odwrotne. Nic już nie tłumacz, muszę do tego dojść sam.

Eta:

AC: W ciele liczb Q(a + b√3) gdzie a, b ∊Q można wprowadzić operację sprzeżenia analogiczną jak w ciele licz zespolonych. Można wykazać, że: sprzężenie sumy jest równe sumie sprzężeń: (x + y)* = x* + y* gdzi x, y ∊Q(a + b√3) a x* = a − b√3 podobnie iloczyn: (xy)* = x*y* Teraz niech x₀ jest pierwiastkiem wielomianu w(x₀) = ∑ a_kx₀^k = 0 Teraz robimy sprzężenie a_k* = a_kdo ∑ a_k(x₀*)^k = 0 ⇒ x₀* − jest pierwiastkiem tego wielomianu. cbdo

PW: @AC: Dziękuję, pójdę spać spokojny. Swoją drogą zastanawiam się, Eta, czy ktoś poza mną zwrócił uwagę, że nie jest to oczywiste.

Eta:

zombi: Widziałem kiedyś podobne, trzeba podstawić to nieszczęsne 1+√3 i to można było ładnie poprzenosić sobie na którąś stronę i rozwiązanie się nasuwało, ale o tej godzinie nie pomogę.