http://www.mimuw.edu.pl/~krych/zawody/zadania%20z%20zawod%f3w/IMC2012-oba_dni.pdf
dostaniesz kupę jabłek jak to rozwiążesz
Pozwól, że Cię wyręczę przy pierwszym zadaniu (widzę, że cieszysz się
zasłużoną estymą).
Zadanie nr 1. Niech dla dowolnej całkowitej n większej od zera p(n) oznacza liczbę sposobów
przedstawienia n jako sumy dodatnich liczb całkowitych. Na przykład p(4) = 5,
gdyż
4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1.
Przyjmijmy dodatkowo p(0)=1.
Udowodnij, że p(n) − p(n−1) oznacza liczbę sposobów przedstawienia n jako sumy liczb
całkowitych, z których każda jest większa od 1.
Dowód.
Niech q(k) oznacza szukaną liczbę możliwych przedstawień liczby k w postaci sumy, w której nie
ma jedynek, zaś j(k) oznacza liczbę takich przedstawień, w których jest co najmniej jedna
jedynka.
p(k) = q(k) + j(k).
Każde przedstawienie liczby n w postaci sumy zawierającej co najmniej jeden składnik +1 jest
sumą
(n−1)+1,
gdzie składnik (n−1) może być przedstawiony na p(n−1) sposobów.
Ostatnie stwierdzenie wymaga pewnego uzasadnienia (nie jest oczywiste).
Niech
n = a1+a2+...+am,
przy czym a1>a2>...>am,
wówczas, jeżeli am=1,
n = (a1+a2+...+am−1) +1
lub, jeżeli am>1,
n = (a1+a2+...+(am−1)) +1.
W obydwu wypadkach n jest sumą pewnego przedstawienia liczby (n−1) z dodanym składnikiem +1.
Wszystkich możliwych składników przedstawiających liczbę (n−1) jest p(n−1), co kończy
uzasadnienie.
Tak więc j(n) – liczba przedstawień n w postaci sumy zawierającej co najmniej jeden składnik +1
jest taka sama jak p(n−1)
Wniosek:
p(n) = q(n) + j(n)
p(n) = q(n) + p(n−1)
p(n) − p(n−1) = q(n),
co kończy dowód.
Nie wiem po co definiowali p(0) – żeby uzyskać prawdziwość twierdzenia dla wszystkich n, czy
żeby „podprowadzić” uczestników pod zasadę indukcji.
Można powiedzieć, że rozwiązanie było trudniej sformułować na piśmie niż wymyślić.
w tym momencie rozklad s+s+.... Nie jest w ogole brany
pod uwage
Wykładowcą
a) 4W(x)=4(2x2−3x+1)=8x2−12x+4
4W(x)−U(x)=8x2−12x+4−( 3x − 2 )=8x2−12x+4−3x+2=... dokończ
(U(x))2*W(x)=(3x−2)2*(2x2−3x+1)=(9x2−12x+4)(2x2−3x+1)=... wymnóż każdy przez każdy
Gdzie tą matematykę studiowałeś
| 3−5 | 1 | |||
x1= | =− | |||
| 8 | 4 |
| 3+5 | ||
x2= | =1 | |
| 8 |
| 1 | ||
4x2−3x−1=4(x−1)(x+ | ) | |
| 4 |
| 1 | 1 | |||
W(x)=3x4*4(x−1)(x+ | )=12x4(x−1)(x+ | ) | ||
| 4 | 4 |
