pochodne mariusz: Jak wyprowadzać wzór na pochodną n − tego rzędu funkcji f: a) log(x¹⁰)

PW: Zacznij od obliczenia f'(x), może się coś rozjaśni?

mariusz: na wykładzie kazali traktować logx jako lnx wiec:

	10x9		10
f'(x) =		=
	x10		x

	10
f''(x) = −
	x2

	20
f'''(x) =
	x3

	60
f''''(x) = −
	x4

No i jakoś nic nie widzę.

Maslanek:

	(n−1)!
fn(x)=(−1)n−1*10*
	xn

Jeśli te obliczenia są poprawne, to chyba tak

mariusz: jak to stworzyłeś?

PW: Plusy i minusy na przemian, w liczniku 10, 20, 60, ..., w mianowniku potęgi: 2, 3 ,4,... Nie widzisz? Kwestia wprawy w zapisywaniu tego typu prawidłowości (uzależnić od n).

Maslanek: Zauważasz, że minus jest w co drugim. Oczywiste jest więc jest to postaci (−1)^z. Kolejno masz 10 powtarzające się w drugim, trzecim i następnych pochodnych. Nie trzeba wyjaśniać. Następnie masz 1, 1, 2, 6=3*2... Silnia, nie? I potęga x'owa to już nie tajemnica

mariusz: a w takim przykładzie: b) xlog(x) f(x) = xlogx (logx = lnx) f'(x) = lnx + 1

	1
f''(x) =
	x

	1
f'''(x) = −
	x2

	2
f''''(x) =
	x

	2
f'''''(x) = −
	x2

... schemat zaczyna się od f'''(x)

mariusz:

PW: Znacznie łatwiej byłoby coś dostrzec, gdybyś zamiast ułamków używał zapisu typu x⁻¹, x⁻² itd. f''' policzona źle.

mariusz:

	1		−( − 1 * 2x)		2
f'''(x) = (−		)' =		=
	x2		x4		x3

tak?

mariusz:

	2		−6
f''''(x) =		= {0 * x3 − 6x2}{x6} =
	x3		x4

	−6		18
f'''''(x) =		=
	x3		x5

mariusz: to byłby wzór:

	6 * (n − 2)
fn(x) = (1)n − 1 *
	xn

mariusz: nie coś nie tak jest

mariusz: mógłbyś pomóc? ponieważ nie wiem jak zagwarantować ten warunek 2,6,18 −> poprzednia liczba pomnożona przez 3, jest to ciąg geometryczny od 2 pochodnej chyba

PW: Żeby się nie gubić w liczeniu "primów" oznaczmy symbolem f⁽ⁿ⁾ pochodną rzędu n. f⁽²⁾ = 1^.x⁻¹ f⁽³⁾ = −1^.x⁻² f⁽⁴⁾ = +2^.x⁻³ f⁽⁵⁾ = −2^.3^.x⁻⁴ ....... Na podstawie poprzedniego przykładu wymyśl wzór na f⁽ⁿ⁾ dla n>2.

mariusz: ale twój zapis różni się od mojego tj.: masz całkiem inne wartości

mariusz: nie zacząłeś od 1, tylko od 2, f⁽4) to = −2 * 3 : x⁻⁴ ale nie wiem jak to wymyślić masz może jakiś schemat na to?

mariusz:

mariusz:

Krzysiek: jeżeli dalej nie widzisz zależności to policz następną pochodną... To co napisał "PW" jest dobrze.

mariusz:

	2
dla f(3) jest chyba		wyżej liczyłem ale nikt nie sprawdził
	x3

Krzysiek:

	1
skoro f''(x)=
	x

	−1
to przecież: f'''(x)=f(3)(x)=
	x2

mariusz: ajć przepraszam najmocniej to ja się pomyliłem no tak jak napisałem tutaj będzie ciąg geometryczny o ilorazie 3 (patrząc) na to co liczyłem.

mariusz: nic nie wymyślę

Krzysiek: to będzie podobny wzór co Maslanek napisał w poprzednim zadaniu...

mariusz: z silnią?

mariusz: widzę, że to jest wielokrotność poprzedniej liczby lecz nie mam pomysłu na formalny zapis tego

mariusz: mógłbyś napisać jakie jest prawidłowe rozwiązanie?

mariusz:

mariusz:

mariusz: można prosić o pomoc?

mariusz:

mariusz:

mariusz:

mariusz:

majkel: yⁿ=(−1)ⁿ * (n−2)! * x⁽−n+1)