PW: Opis jednej paczki z cukierkami może polegać na tym, że wyjmujemy po kolei cukierki i mówimy:
− cukierek nr 1 jest drugiego rodzaju,
− cukierek nr 2 jest piątego rodzaju,
− cukierek nr 3 jest pierwszego rodzaju,
........................................................
− cukierek nr 15 jest trzeciego rodzaju..
Opiszmy to w sposób formalny. Paczkę z cukierkami można utożsamić z funkcją
f:{1,2,3,...,15} → {1,2,3,4,5},
inaczej mówiąc z ciągiem
(c
1, c
2, c
3, c
4, ..., c
14, c
15),
którego elementy należą do zbioru {1,2,3,4,5}.
Ciągi takie są nazywane 15−elementowymi wariacjami z powtórzeniami o wartościach w zbiorze
5−elementowym, jest ich 5
15.
Nie jest to jednak do końca dobry pomysł, przecież patrząc na paczkę z cukierkami nie widzimy
tam żadnej kolejności, po prostu zbiór cukierków.
Pomyślmy więc o innym modelu matematycznym. Opis paczki z cukierkami może polegać na podaniu
pięciu liczb o sumie 15, np. 2+6+4+1+2=15 oznacza, że w paczce jest 15 cukierków, w tym:
2 cukierki pierwszego rodzaju,
6 cukierków drugiego rodzaju,
4 cukierki trzeciego rodzaju,
1 cukierek czwartego rodzaju
2 cukierki piątego rodzaju.
Jeżeli założymy, że w każdej paczce jest co najmniej jeden cukierek z każdego rodzaju, to
policzenie paczek nie jest trudne. W sumie 15 jedynek
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
wystarczy zamiast "+" wstawić "," w czterech dowolnych miejscach i już mamy podział liczby 15
na pięć składników, np.
1+1. 1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+, 1, 1+1
oznacza paczkę opisaną wyżej (2+6+4+1+2).
W sumie złożonej z 15 jedynek jest 14 znaków "+", a więc podział na 5 składników − wstawienie 4
przecinków − może się odbyć na
sposobów.
Odpowiedź. Przy założeniu, że w każdej paczce jest co najmniej po jednym cukierku z każdego
| | | |
rodzaju, można utworzyć | różnych paczek. |
| | |
Jeżeli utrudnimy tworzenie paczek w ten sposób, że nie muszą zawierać cukierków z każdego
rodzaju, to liczba możliwych paczek zwiększy się znacznie (o takie, które mają tylko cztery
rodzaje cukierków, trzy rodzaje cukierków itd., przy czym te rodzaje można wybierać na różne
sposoby).
Zadanie na zapalenie płuc, a Ty, Kamilo, już nie jesteś licealistką.
