♊: Aby określić, co rozumiemy przez liczbę naturalną i zbudować teorię zwaną (diofantyjską)
arytmetyką liczba naturalnych należy, określić zbiór pojęć pierwotnych tej teorii, czyli
pojęć, których definiować nie będziemy uważając je za "oczywiste" i ustalić listę aksjomatów
(postulatów) teorii, czyli twierdzeń, których prawdziwości umawiamy się nie podważać i nie
będziemy nawet próbować ich udowadniać.
# Pojęciami pierwotnymi arytmetyki będą w myśl tego, co ustalono na przestrzeni wieków 0 (zero)
i pojęcie następnika liczby naturalnej. Następnik liczby n to liczba naturalna zaraz następna
po n. Intuicja podpowiada nam, że wiemy, co to znaczy, a ścisłe wymagania, jakie spełnia
następnik podają aksjomaty właśnie.
# peano Zbiór aksjomatów może być praktycznie dowolny zupełnie. Dziś uznaje się za obowiązujący
niejako (i wygodny bardzo) system pięciu postulatów Giuseppe Peano (1858−1932)
1. zero jest liczbą naturalną:
0 "należy do" N
2. dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba po niej następna:
"dla każdego n" (n)
+ "należy do" N
3. nie istnieje liczba naturalna, po której następowałoby zero:
"dla każdego n" "nie jest prawdą, że" (n)+=0
4. liczby następne po różnych liczbach naturalnych są różne:
"dla każdych różnych n i m" "nie jest prawdą, że" (n)
+=(m)
+
5. jeśli z posiadania jakiejś cech przez jakąś liczbę naturalną n wynika, że i następna
liczba naturalna (n)+tę cechę posiada i jeśli cecha ta jest właściwa liczbie zero, to mają ją
też wszystkie liczby naturalne.
# W następnym kroku definiujemy działanie zwane dodawaniem liczb naturalnych. Generalnie jest
to przyporządkowanie parze liczb trzeciej liczby zgodne z pewnymi zasadami. Najprościej zasady
te zapisać w następującej postaci:
* wynikiem dodania zera do jakiejś liczby jest ta sama liczba:
n+0 = n
* jeśli wynikiem dodawania dwóch liczb n i m jest trzecia liczba k=n+m, to liczba następna
po k jest wynikiem dodania do liczby n liczby następnej po m:
(n+m)
+ = n+(m)
+
# Można udowodnić, że dodawanie jest jednoznaczne, symetryczne i łączne.
# Można też udowodnić, że (w diofantyjskjej arytmetyce) 2+2=4.
Trzeba zacząć od określenia, co rozumiemy pod symbolami 2 i 4 (a przy okazji też i 1)
zgodnie z konwencją:
1 = (0)
+
2 = (1)
+ = ((0)
+)
+
4 = ((((0)
+)
+)
+)
+
Dowód dalej jest już prosty i wygląda tak:
2+2 = 2+(1)
+ = (2+1)
+ = (2+(0)
+)
+ = ((2+0)
+)
+ = ((2)
+)
+ = (((1)
+)
+)
+ =
((((0)
+)
+)
+)
+ = 4
End of proff.
Za
http://www.u.lodz.pl/~wibig/hieronim/hie03p1ok.htm
