tw. sinusów i cosinusów tynka: Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a miary kątów trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.

Andrzej: no wykazałem... jesteś tam jeszcze ? bo troszkę mi to zajęło i nie wiem czy jest komu pisać

Eta: Witam α, β,γ −−− tworzą ciąg arytm to z def. ciągu arytm. 2β=[B α + γ]] oraz wiesz ,że suma kątów trójkata = 180^o więc α + β + γ= 180^o więc 2β +β= 180^o => 3β= 180^o => β= 60^o to α +γ= 120^o a, b, c −−− tworzą ciąg geometryczny więc z def. ciagu geom. mamy: b² = a*c między bokami a i c znajduje się kąt β= 60^o więc pole trójkąta obliczamy ze wzoru: P= ¹₂ a*c *sin 60^o zatem: P=¹₂ *b² * ^√3₂

	b2√3
więc P=
	4

a to oznacza , że trójkąt jest trójkątem równobocznym o boku długości "b" więc trójkąt jest równobocznym c.b.d.o

Eta: Witam Andrzeju ...... zainteresowanej niestety chyba już nie ma? Czekam więc na ocenę mojego rozwiązania PS: Ciekawa jestem jakie jest Twoje rozwiązanie?

Andrzej: ja z tw. sinusów, tak jak w temacie było napisane, oznaczyłem boki przez a, aq, ag² a kąty jako α−r, α, α+r i udowodniłem że jedyne rozwiązanie jest dla r=0 i q=1

Andrzej: Twoje jest dużo prostsze, pod warunkiem że obronisz ostatnią implikację; czy na pewno tak musi być że jeśli pole jest takie to trójkąt musi być równoboczny. Bo na razie nie jestem jeszcze pewien że tak jest, muszę przemyśleć.

tynka: ja cały czas jestem..., tzn. pojawiam się Dziękuję Wam bardzo za wszelkie podejmowane próby i to piękne, długie rozwiązanie, które przeanalizuję sobie jutro, bo dzisiaj nie mam już siły... Dobranoc. I jeszcze raz wielkie dzięki.

Andrzej:

	3		4
bo tak sobie myślę, jeśli boki trójkąta miałyby długości np.		b i		b, a między nimi
	4		3

	b2√3
kąt 60o to pole byłoby równe...
	4

Eta: Do Andrzeja Jeżeli np. Chińczyk oznaczy sobie bok trójkąta swoją literką ( jak moja "b") to jaki poda wzór na pole trójkąta równobocznego?

	b2√3
P=		gdzie zamiast mojego b, napisze swoją literkę
	4

zatem ma do czynienia z trójkątem równobocznym

Andrzej: no a ten mój z przykładu ostatniego ?

Andrzej: zobacz że wykazałaś tylko że jeden kąt ma 60^o i pole się tak wyraża, w moim kontrprzykładowym trójkącie jest tak samo

♊: Eto − mnie też się wydaje, że twój dowód jest konieczny, ale nie wystarczający.

Eta:

	3		4
Przy Twoim założeniu		i
	4		3

	16
q=
	9

wtedy długość trzeciego boku = ⁶⁴₂₇ co nie spełni w−ku trójkąta

	4		3		64
bo		+		<
	3		4		27

Andrzej: nie no, to są dwa skrajne wyrazy, środkowy bok między nimi ma q

Andrzej: środkowy ma długość b, sorki za literówkę

Andrzej: musi być środkowym, skoro naprzeciwko jest "srodkowy" kąt z ciągu kątów

Eta: Nie będę się upierać, ale do końca mnie też nie przekonaliście Pomyślę jeszcze ...... idę na dobrą herbatkę!

Andrzej: to ja walnę szybciutko szkic mojego

	a		aq		aq2
z tw. sinusów		=		=
	sin(α−r)		sinα		sin(α+r)

mnożę obie skrajne równości na krzyż, w otrzymanych równaniach skraca się a dodaję równania stronami, otrzymując po drobnych przekształceniach równanie q²−2qcosr+1=0 delta wychodzi 4(cos²r−1) i jedyną możliwością żeby było rozwiązanie jest cosr=1 czyli r=0, a wtedy q=1.

Eta: To ja "walnę szkic" mojego: Oczywista oczywistość ,że α= 60^o .... więc boki trójkąta oznaczam podobnie: a₁ , a₁*q , a₁*q² zmieniam skalę ( łatwiej bedzie liczyć a₁= 1 , bo tak można) więc mamy 1, q, q² −−−−− zatem też ze wzoru cosinusów mamy: q² = 1² + q⁴ −2*1*q²*cos60^o q² = 1 +q⁴ − q² => q⁴ − 2q² +1 =0 => ( q² −1)²=0 to: q² −1= 0 => q= 1 v q= −1 −−− odrzucamy więc boki są 1, 1, 1 zatem, a₁, a₁, a₁ ...... czyli równoboczny jest ten trójkąt! Teraz pasuje? PS: w moim poprzednim rozwiązaniu też otrzymamy : b= a = c więc q=1

Andrzej: no, teraz jak najbardziej

Eta: OK

Andrzej: A tak w ogóle to dużo fajnych zadanek tu się trafia, można nimi potem dzieci w szkole pomęczyć

Eta: No, ja już dawno przestałam "męczyć" ........ odpoczywam na "zasłużonej , marniej......... "

♊: Andrzej: zwykle to zadania tutaj trafiają dopiero po tym, jak są pokazywane (polecenia, nie rozwiązania) w szkole ;) Eta: oj tam od razuy męczyć :P

Eta: ∊....... ja nie męczyłam byłam tolerancyjna

♊: Tak zaznaczyłaś tą tolerancję, że mi się skojarzyła od razu z "Na miły Bóg..." Soyki :)

Eta:

em: teraz wszystko jasne... dziękuję bardzo za pomoc

Eta: Podam jeszcze takie rozwiązanie: b² = a*c α= 60^o ze wzoru kosinusów: b² = a² +c² −2ac*cos60^o b² = a² +c² − ac ac = a² +c² − ac a² +c² − 2ac=0 (a −c)² = 0 => a − c=0 => a = c więc b² = a² = c² => a=b=c −−−−− trójkat jest równoboczny

Andrzej: no to jest ładniutkie

Eta: ...... też tak myślę Pozdrawiam!

AS: Pozwólcie Panowie,że i ja wtrącę swoje trzy grosze. Przyjąłem kąty trójkąta α − r , α , α + r Przeciwległe boki odpowiednio a , a*q , a*q² W trójkącie zachodzi α − r + α + α + r = 180^o ⇒ α = 60^o Z tw. sinusów a/sin(α − r) = a*q/sin(α) i a*q/sin(α) = a*q²/sin(α + r) q = sin(α)/sin(α − r) q = sin(α)/sin(α + r) Porównując q otrzymuję sin(α)/sin(α − r) = sin(α)/sin(α + r) czyli sin(α − r) = sin(α + r) ⇒ α − r = α + r ⇒ r = 0 a to oznacza,że kątami trójkąta są 60^o ,60^o , 60^o

Andrzej: dwie uwagi do ASa: 1. równość sinusów nie oznacza zawsze równości kątów, potrzebny jest dodatkowy warunek, w tym zadaniu jest on spełniony, ale sama w sobie implikacja sin(α − r) = sin(α + r) ⇒ α − r = α + r jest fałszywa. 2. Panowie ? a Eta to co ?

Eta: Hmm?...... Eta? ...... niestety nie jest .....facetem i wcale tego nie żałuje

AS: Skoro była mowa o kątach trójkąta to prawdziwość implikacji była chyba oczywista. A skąd mam wiedzieć kto kryje się pod Eta? Prawdę pisząc to nie przeglądałem wszystkich postów,tylko początek. A w gruncie rzeczy o co kłótnia?

Andrzej: przecież nie kłótnia, jestem ostatnim człowiekiem który chciałby się kłócić, ot tak dla paddierżenia razgawora napisałem. Troszkę luzu