odwzorowanie liniowe xxx: Dla następującego odwzorowania liniowego f:R⁴ →R³: f(x,y,z,t)=(x₁+x₂+x₃−x₄,2x₁+x₂−x₃+x₄,x₂+3x₃ − 3x₄) wywnioskować czy f jest injekcją, surjekcą, bijekcją? Bardzo posze o wytlumaczenie jak sprawdzac czy dane odwzorowanie jest injekcja, surjekcja.

Godzio: Hmm, po jednej stronie x,y,z,y, a po drugiej x₁,x₂,x₃,x₄ ? f(1,0,1,1) = (1,2,1) f(1,0,−1,−1) = (1,2,1) Czyli f nie jest injekcją Odwzorowanie jest surjekcją, bo f(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁(1,2,1) + x₂(1,1,0) + x₃(1,−1,3) + x₄(−1,1,−3) i wektory (1,2,1), (1,1,0), (1,−1,3) rozpinają całą przestrzeń R³ (są liniowo niezależne)

xxx: a jak to zadanie mozna zrobic przy użyciu wymiaru? bo chyba z tego to mam zrobic.

Godzio: 2 część masz zrobioną typowo algebraicznie, a pierwsza, z tego co pamiętam Kerf = {0} ⇔odwzorowanie jest różnowartościowe ( 0 − wektor zerowy) Wyznaczamy jądro: x₁ + x₂ + x₃ − x₄ = 0 2x₁ + x₂ − x₃ + x₄ = 0 x₂ + 3x₃ − 3x₄ = 0 1 1 1 −1 2 1 −1 1 0 −1 3 3 1 1 1 −1 0 −1 −3 3 0 −1 3 3 1 0 −2 2 0 −1 −3 3 0 0 6 0 1 0 0 2 0 1 0 −3 0 0 1 0 x₁ = − x₄ x₂ = 3x₄ x₃ = 0 x₄ ∊ R Kerf = lim{(−1,3,0,1) } A jak widać nie jest to wektor zerowy, więc nie jest to injekcja

xxx: ok dzięki