Całka Mateusz: x²*arctgx ∫−−−−−−−−−−dx 1+x²

Mateusz: Przepraszam, moglby ktos?

Andrzej: Juz piszę

Andrzej:

	x2
całkuj przez części: u = arctgx, dv=		jakbyś gdzieś utknął to pisz, mi wyszło
	1+x2

	1		1
xarctgx −		arctg2x−		ln(x2+1)+C
	2		2

Mateusz: Dobrze, Andrzeju, taka jest odpowiedź. Dziękuję za wskazówke, rozwiązalem i równiesz wyszło mi dobrze

Jakub:

	arctgx
Na początku policzę ∫		dx
	1+x2

	arctgx		1
∫		dx = ∫(		)*arctgx dx
	1+x2		1+x2

	arctgx
∫		dx = ∫(arctgx)'*arctgx dx
	1+x2

	arctgx
∫		dx = arctgx*arctgx − ∫arctgx*(arctgx)' dx
	1+x2

	arctgx		1
∫		dx = (arctgx)2 − ∫arctgx*		dx
	1+x2		1+x2

	arctgx		1
∫		dx + ∫arctgx*		dx = (arctgx)2
	1+x2		1+x2

	arctgx
2∫		dx = (arctgx)2
	1+x2

	arctgx
∫		dx = 12(arctgx)2
	1+x2

	x2
Teraz jeszcze policzę tą całkę: ∫		dx
	1+x2

	x2
∫		dx =
	1+x2

	1+x2−1
=∫		dx =
	1+x2

	1
=∫(1 −		)dx =
	1+x2

	1
=∫(1 −		)dx = x − arctgx
	1+x2

Dobra. Teraz już twoja całka

	x2*arctgx
∫		dx =
	1+x2

	x2
= ∫		* arctgx dx=
	1+x2

= ∫ (x−arctgx)' * arctgx dx = <− tu wykorzystałem to co wyżej (druga z kolei policzona całka) = (x−arctgx)*arctgx − ∫ (x−arctgx) * (arctgx)' dx =

	1
= (x−arctgx)*arctgx − ∫ (x−arctgx) *		dx =
	1+x2

	x		arctgx
= (x−arctgx)*arctgx − ∫ (		−		) dx =
	1+x2		1+x2

	x		arctgx
= (x−arctgx)*arctgx − ∫ (		+ ∫		dx =
	1+x2		1+x2

	arctgx
= (x−arctgx)*arctgx − ln|1+x2| + ∫		) dx = <− całka z początku
	1+x2

= (x−arctgx)*arctgx − ln|1+x²| + ¹₂(arctgx)² Uff, masakryczna ta całka, mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem.

Mateusz: Jeny, dzięki wielkie. Strasznie dużo pracy. Dziękuję bardzo za dokładną rozpiskę

Jakub: pomyłka

	x
∫		= 12ln|1+x2|
	1+x2

Reszta po uproszczeniu wychodzi tak jak wam.

Andrzej: chyba zgubiłeś 1/2 przy tym logarytmie, bo jak podstawisz 1+x²=t to 2xdx = dt, czyli x dx = dt/2 no i moduł zbędny bo x²+1>0

Andrzej: he, zdążyłeś się sam poprawić

Jakub: Tak z ciekawości Andrzej, zrobiłeś to w jakiś prostszy sposób, czy też taki długi jak mój? Tak się zastanawiam, czy nie da się tego rozwiązania jakoś prościej zapisać.

Andrzej: robiłem tak jak napisałem we wskazówce, przez części, jak zobaczyłem że przy takim dv jak przyjąłem wychodzi ładniutkie v = x−arctgx to wiedziałem że w domciu jestem