zbadac różniczkowalnosc xxx: Zbadać różniczkowalność funkcji f(x)=|x|³ na zbiorze R. dopiero zaczynam rachunek różniczkowy wiec prosze o wyrozumiałość. Mógłby ktos to zadanie jakos rozpisac lub podac jakies wskazówki do jego rozwiazania, z gory dziekuje.

Godzio:

	f(x) − f(x0)		|x|3 − |x0|3
limx→x0		= limx→x0		=
	x − x0		x − x0

	(|x| − |x0|)(x2 + |xx0| + x02)
limx→x0		=
	x − x0

lim_x→x0(x² + |xx₀| + x₀²) = 3x₀² czyli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie x₀ ∊ R

xxx: a skąd sie wzieła ta linijka lim_x→x0(x² + |xx₀| + x₀²) = 3x₀² czyli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie ?

Godzio: Sory, trochę pojechałem, bo uprościłem sobie coś czego nie można uprościć, na w liczniku mamy moduły, a na dole nie. Zaraz poprawię

Godzio: Zaczynamy z drugiej linijki, i rozpatrujemy najpierw x > 0, wtedy |x| = x, |x₀| = x₀ i postępujemy tak jak wyżej, natomiast gdy x < 0 mamy: |x| = −x, |x₀| = −x₀ i wtedy w granicy otrzymamy: −3x₀ więc dla x > 0 i x < 0 pochodna istnieje (wychodzi coś konkretnego, sprawdźmy teraz co się dzieje gdy x₀ = 0

	f(x) − f(0)		x3
limx→0+		= limx→0+		= limx→0+x2 = 0
	x − 0		x

	f(x) − f(0)		−x3
limx→0−		= limx→0−		= limx→0−−x2 = 0
	x − 0		x

Czyli pochodna w 0 również istnieje, Teraz możesz zadawać pytania jeśli jest coś niejasnego

xxx: wszystko jasne bardzo dziekuje. czyli gdy badam rożniczkowalnosc to szukam konkretnych wartosci ? tak?

Godzio: Tak, musi wyjść coś jednoznacznego, nie może być sytuacji, że raz wyjdzie coś, a innym razem coś innego (np. badając f(x) = |x| w 0, raz wyjdzie nam 1, raz −1 − więc pochodna w 0 nie istnieje, możesz to zrobić dla ćwiczeń)

xxx: aha czyli wtedy mozna by bylo napisac ze funkcja taka jest rozniczkowalna na przedziale R\{0} gdyz w punkcie x=0 pochodna nie istnieje. Jeszcze raz dziekuje za pomoc