macierz odw.liniowego xxx: 1.Macierz A = −1 2 −2 1 2 −1 1 −2 0 −1 1 0 −2 2 −2 −2 jest macierzą odwzorowania f:R⁴ → R⁴ w bazie standardowej. znalezc Kerf Imf i ich bazy. Wyznaczyć parametr t aby wektor v=(2,2,t,t) należał do Imf. 2.A jest macierzą endomorfizmu f:R³→R³ Znależć f(3,4,5) A= 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 wogóle nie wiem jak sie zagrac do tego. bardzo prosze o jakies wskazoki

xxx: ma ktoś jakiś pomysł ?

Godzio: Zaraz pomogę, w między czasie napisz co to jest "endomorfizm" bo mi wyleciało z głowy

Godzio: I sprawdź jeszcze czy macierz jest dobrze przepisana, głównie mi chodzi o 4 wiersz,

xxx: endomorfizm to funkcja jest liniowa i dziedzina i przeciwdziedzina są takie same(prowadzi z przstrzeni w nią samą) wszystko jest dobrze przepisane.

Godzio: Ok, mam nadzieję, że za 6 min będzie rozwiązanie bo będę musiał wtedy uciekać

Godzio: Żeby znaleźć obraz, trzeba przepuścić macierz przez wektory z bazy: A(1,0,0,0) = (−1,2,0,−2) (1) A(0,1,0,0) = (2,−1,−1,2) (2) A(0,0,1,0) = (−2,1,1,−2) (3) A(0,0,0,1) = (1,−2,0,−2) (4) Jak widać są to kolumny macierz, wypada jeszcze sprawdzić czy są liniowo niezależne. W tym wypadku, widać gołym okiem, że (−1) * (2) = (3), a wektory (1), (2), (4) są liniowo niezależne (policz jakieś wyznacznik 3x3 z macierzy składającej się z tych wektorów i znajdź ten niezerowy) więc: Im(f) = lin{ (−1,2,0,−2) , (2,−1,−1,2), (1,−2,0,−2) } Jądro znajdujemy rozwiązując równanie: A(x,y,z,t) = (0,0,0,0) −x + 2y − 2z + t = 0 ⇒ x = t 2x − y + z − 2t = 0 −y + z = 0 ⇒ y = z −2x + 2y − 2z + 2t = 0 x = t y = z z,t ∊ R (i teraz "chodząca jedynka", najpierw t = 1, z = 0, a potem t = 0, z = 1) Ker(f) = lin{ (1,0,0,1), (0,1,1,0) } No i mamy jądro Żeby wektor v = (2,2,t,t) należał do obrazu, musi być kombinacją liniową wektorów z obrazu a(−1,2,0,−2) + b(2,−1,−1,2) c(1,−2,0,−2) = (2,2,t,t) −a + 2b + c = 2 2a − b − 2c = 2 − b = t −2a + 2b − 2c = t Po rozwiązaniu tego układu otrzymamy: t = −2 Coś mi nie pasuje, ale jeszcze nie wiem co

Godzio: Z tego co mi wiadomo, wystarczy przemnożyć A * (3,4,5) = (6,2,6)

xxx: TYLKO PO CO W TYM 2 SA PODANE TE WEKTORY Z BAZY JESLI WOGOLE NIE SA WYKORZYSTYWANE W ROZWIAZANIE ZADANIA?

xxx: bo w tym zadaniu zapomnialem dopisac takiej informacji ze ta macierz jest macierza endomorfizmu w bazie B=((1,0,−1),(0,1,−1),(1,1,0))

Godzio: Jakie wektory z bazy ?

xxx: czyli z tak informacja to jakie ma byc to rozwiazanie?

Godzio: Ej, ale tu i tak coś nie gram, wymiar jądra + wymiar obrazu powinien być równy wymiarowi całej przestrzeni, a nie jest hmmm

xxx: zle ci jadro wyszlo

Kamerdyner: Kerf = Lin ((0,1,1,0))