pochodne michał: Ciekawe zadania z pochodnych 1. Dla jakiego B zachodzi f'(0) oraz ile wtedy wynosi?

	⎧	*ponizej* : x ≠ 2kπ, k ∊C
f(x) =	⎩	B : x = 0

	ex2 − 1
*ponizej* Pierwszy w klamerce powinien wyglądać:		(napisałem tak
	cos(x) − 1

ponieważ edytor nie chciał tego przepuscić)

Artur_z_miasta_Neptuna: nie rozumiem "zachodzi f'(0)" może chodzi Ci o: istnieje f'(0)

Artur_z_miasta_Neptuna: wskazówka −−− kiedy funkcja posiada pochodną w punkcie P

michał: tak tak , pisałem z pamięci

michał: jeżeli istnieje skończona granica?

michał: ?

Artur_z_miasta_Neptuna: jeżeli granica lewo i prawostronna jest skończona i sobie równa

Artur_z_miasta_Neptuna: albo jak wolisz ... gdy pochodna jest funkcją ciągłą na w jakimś otoczeniu punktu P

michał: czyli w tym przypadku musze badać lim_x→0⁺ i lim_x→0⁻, ponieważ muszę tam obliczyć f'(0) zgadza się?

michał: o to chodzi ?

michał: ?

	ex2 − 1
1) limx → 0+		Stosujemy regułę Hospitala
	cos(x) − 1

	ex2 * 2x
limx → 0+		i znowu z Hospitala
	−sin(x)

	ex2 * 2 + 2xex2 * 2x
limx → 0+		= i tutaj mam mały problem co będzie z
	−cos(x)

2⁰²

michał:

Godzio: Tutaj są podstawowe granice !

cosx − 1		1
	→
x2		2

ex2 − 1
	→ 1
x2

ex2 − 1   x2		1
	→		= 2
cosx − 1   x2		1   2

Jedyna trudność polega na ich znajomości i dopisaniu "x²"

Godzio:

	cosx − 1		1
Sory,		→ −		, więc wynik końcowy − 2
	x2		2

michał: Ale jak zrobić Hospitalem? Bo na pewno można

Godzio: Patrzę, patrzę, i masz przecież wynik

	1 * 2 + 0
U{e0 * 2 + 0 * e0 * 0}{−cos0 =		= − 2
	−1

michał: tak ale na pewno: 0² = 0? bo w liceum uczono mnie, że jeszcze tego nie obliczono

michał: i z lim_x→0⁻ wjdzie też −2, więc A = −2? i ile wynosi f'(0)

patryk45: Praca dodatkowa dla każdego. 15 zł / h. Wprowadzanie danych na stronach www, wypełnianie ankiet internetowych. 3−5 godzin dziennie. Krótkie CV proszę kierować pod adres mailowy: agnescio@wp.pl

Artur_z_miasta_Neptuna: granice nie dla f(x) tylko f'(x) liczysz

michał: ok, ale wynik dobry?

michał: bo teoretycznie obliczyłem dla f'(x), więc B = −2 zgadza się? więc istnieje dla B = −2, a jak obliczyć ile wynosi?

michał: niee

Artur_z_miasta_Neptuna: nie ... nie obliczyleś dla f'(x) przecież masz tam podaną postać f(x) a nie jej pochodnej

michał:

	ex2 * 2x
f'(x) =		i teraz z Hospitala i otrzymamy −2 czyż nie tak
	−sin(x)

Mila: 0⁰ symbol nieoznaczony. 0²=0*0=0 0³=0*0*0=0

michał: ale czy wynik jest dobry?

Godzio: Tego co liczyłeś jest dobry Na razie sprawdziłeś, że funkcja jest ciągła w 0, teraz pochodną licz, tak jak mówi Artur

Artur_z_miasta_Neptuna: Ty nie masz wyniku żadnego rozumiesz w ogóle zadanie i to co zrobileś

michał:

	ex2 * 2x
właśnie nie do końca rozumiem, pochodną f'(x) =		czy z czego pochodną?
	−sin(x)

michał: mógłbym prosić o wytłumaczenie

Godzio: Zapoznaj się lepiej z definicją pochodnej w punkcie

michał: znam ją, ale co mi po tym

	f(xo + h) − f(xo)
f'(xo) = limh→0
	h

Nie moglibyście pokazać jak to prawidłowo rozwiązać? Bo mam jeszcze kilka podobnych przykładów.

Godzio: Może ta jest tu wskazana:

f(x) − f(x0)
	, x → x0 = 0
x − x0

michał: to są rożne definicje?

Artur_z_miasta_Neptuna: nie ... równorzędne x=x₀+h i widzisz że wyrażenia są identyczne

michał:

	ex2 − 1   − 0 cos(x) − 1
f'(0) =		i co dalej?
	x

Artur z miasta Neptuna: Przeciez f(x₀) to nie jest 0 chlopie ... mysl

michał: Godzio napisał x → x_o = 0, więc myślałem, że x_o = 0 ...

michał: Arturze mógłyś zrobić to zadanie? A ja postaram się zrobić następne, ponieważ teraz się już w ogóle pogubiłem.

Godzio: f(0) = B tak jak już napisałeś to na początku

Godzio: Właściwie skoro sprawdziliśmy ciągłość w 0, i wyszło, że wartość musi być równa "−2" to trzeba sprawdzić czy dla B = −2 pochodna istnieje, jeśli nie to nie ma takiego "B"

Godzio: B = −2 żeby funkcja była w ogóle ciągła,

	ex2−1   + 2 cos(x) − 1
limx→0		=
	x

ex2 − 1 + 2cosx − 2
x(cosx − 1)

Liczę pochodną z de'l Hospitala

2x * ex2 − 2sinx
	i jeszcze raz
cosx − 1 − xsinx

2ex2 + 4x2ex2 − 2cosx
	=
−sinx − sinx − xcosx

ex2(2 + 4x2) − 2cosx
	i miejmy nadzieję, że już ostatni raz
−2sinx − xcosx

2xex2(2 + 4x2)+ ex2 * 8x + 2sinx
−2cosx − cosx + xsinx

przy x → 0 mamy:

0 + 0 + 0		0
	=		= 0
− 2 − 1 + 0		−3

I wyszła skończona granica, więc pochodna w 0 dla B = −2 istnieje

michał: mam teraz taki przykład:

	⎧	(e3x − 3ex + 2)/x2 : x ≠ 0
f(x) =	⎩	B : x = 0

Polecenie takie jak wyżej:

	e3x − 3ex + 2
limx→0+ =		Hospital
	x2

	e3x * 3 − 3ex
limx→0+ =		Hospital
	2x

	9e3x − 3ex		6
limx→0+ =		=		= 3
	2		2

lim_x→0⁻ = 3 Więc jest ciągła w 0. B = 3, aby była ciągła.

	e3x − 3ex + 2   − 3 x2		e3x − 3ex + 2 − 3x2
limx→0 =		=
	x		x3

Liczę de l'Hospitalem

3e3x − 3ex − 6x
	raz jeszcze
3x2

9e3x − 3ex − 6
	raz jeszcze
6x

27e3x − 3ex		27 − 3		24
	=		=		= 4 (przy x→0) więc pochodna dla B = 3 nie
6		6		6

istnieje

Godzio: Po czym wnioskujesz, że nie istnieje ?

Godzio: Niezależnie czy x → 0⁺ czy tam 0⁻ granica jest 4

michał: wzorowałem się na Twoim poście , czyli jaka jest ostateczna odpowiedź zgodna z poleceniem?

Godzio: Kiedy pochodna istnieje ?

michał: Gdy B = 3, wtedy wynosi 4

Godzio: Tak, ale odpowiedz na pytanie

michał: Gdy funkcja jest ciągła w danym punkcie

Godzio: Żeby pochodna w punkcie istniała, funkcja musi być ciągła w punkcie, i dodatkowo pochodne prawo i lewo stronne muszą być sobie równe, a teraz muszę uciekać, nie rób schematycznie tylko myśl

michał: a nie mógłbyś mi jeszcze z jednym przykładem pomóc

michał: Mam jeszcze coś takiego:

	⎧	[x(x − 1)(x − 2)(x − 3)]/sin(πx) : x∉ Z
f(x) =	⎩	x2 − 2x : x = Z

i oczywiśćie wylicz f'(x) (dla tych x'sów przy których istnieje)

michał:

michał:

michał:

michał:

Mila: Wymnóż w liczniku i oblicz pochodną.

michał: (x² − x)(x − 2)(x − 3) = (x² − x)(x² − 5x + 6) = x⁴ − 5x³ + 6x² − x³ + 5x² − 6x = x⁴ − 6x³ + 11x² − 6x pochodna z tego wynosi 4x³ − 18x² + 22x − 6 i co dalej

Mila: Miałeś obliczyć pochodną f(x), podpowiedź dotyczyła ułatwienia. Ponadto pochodna istnieje dla x≠k, gdzie k jest całkowite. Dalej postępuj tak jak w poprzednich przykładach. punkty zmiany wzoru: czy funkcja ciągła ? (patrz komentarz Godzio godzina 19:18)

michał: no siedzę nad tym i nie mam na to pomysłu, próbowałem zrobić tak jak Godzio, ale sam głupoty wyszły tj.: (x⁴ − 6x³ + 11x² − 6x − x² + 2x)' = 4x³ − 18x² + 20x − 4 ale zapewne to jest źle

Mila: 1)dla k=0 http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%28x%28x+%E2%88%92+1%29%28x+%E2%88%92+2%29%28x+%E2%88%92+3%29%29%2Fsin%28pi*x%29%29+as+x+to+0- Granice są równe , ale wartość wg wzoru;f(x) =x²−2x dla k=0 mamy: f(0)=0 Funkcja nie jest ciągła w x=0 2) k=1,2,3,sprawdź wolframem.

michał: ajć, zapomniałem o tym sin(πx) to będzie:

4x3 − 18x2 + 20x − 4
sinπx(x2 − 2x)

i teraz liczyć za pomocą hospitala

Mila: Michał policzyłeś pochodną tylko dla licznika . Jesteś zmęczony, zostaw, już trochę bardziej jesteś samodzielny. Czy te zadania są w internecie publikowane?Czy dostałeś kserówkę.

michał: ksero, ale nie chcę tego zostawiać bo muszę nadrobić (byłem przez 3 tyg chory i teraz mam dużo pracy przez to) a czemu tutaj musimy różne k rozpatrywać? (rozumiem, że podstawiłaś za k tak jakby x)

michał:

	2		6
sprawdziłem wolframem i dla k = 1,2 otrzymujemy −		, dla 3 −		i jaki poczynić
	π		π

następny krok

Mila: Źle policzyłeś pochodną. Popatrz na dziedzinę f(x). Jeden wzór dla x różnych o liczb całkowitych ( Z u Ciebie to oznaczenie całkowitych?) Drugi wzór dla całkowitych. I tak dla x=0 masz wartość f(0)=0 dla x=1; f(1)=1²−2*1=−1 dla x∊(0;1) wg wzoru

	x(x − 1)(x − 2)(x − 3)
f(x) =
	sin(πx)

Policzyć ci pochodną, czy sam dasz radę: jako pochodną ilorazu:

	x4−6x3+11x2−6x
f(x)=
	sin(πx)

Przeczytaj dokładnie przykład który Ci dokładnie wyjasniłam wczoraj.

michał: a dlaczego akurat taką pochodną? a nie taką jak Godzio np? Czyli według godzia powinno to być:

x4 − 6x3 + 11x2 − 6x − x2 + 2x
sin(πx)(x2 − 2x)

ale pochodna tego wynosi:

	(4x3 − 18x2 + 22x − 6)sin(πx) − πsin(πx)(x4 − 6x3 + 11x2 − 6x)
f'(x) =
	sin2(πx)

jak się nie pomyliłem przy tym, że sin(πx) = sin(πx) * (πx)' = πsin(πx)

michał: polecenie do zadania: 19:23 chodzi mi o post Godzia: 17:55

Mila: W pochodnej błąd. (sin(πx))'=πcos(πx) Tam Godzio liczy pochodną w punkcie x=0 Wcześniej ustalono, że funkcja jest ciągła w zerze. (granica funkcji istnieje i jest równa −2 i wartość funkcji =−2) Teraz masz policzyć pochodną, tam gdzie istnieje. Istnieje tam, gdzie sinus jest różny od zera. w pozostałych punktach trzeba badać. Najpierw granice lewo i prawostronną funkcji w x=k, gdzie k∊C Może resztę jutro. ?

michał: a moglibyśmy to chociaż dokończyć tylko?

michał: to mamy sprawdzone k = 1 potem dlaczego przedział (0,1)? (post 00:20) to pochodna będzie wynosiła

	(4x3 − 18x2 + 22x − 6)sin(πx) + πcos(πx)(x4 − 6x3 + 11x2 − 6x)
f'(x) =
	sin2(πx)

i co z tym dalej począć?

michał:

michał:

Mila: W licznikuopraw znak −πcos(πx) Trochę teorii : obliczanie pochodnej f '(x) dla funkcji f danej wzorem typu: f(x)={ g(x) dla x≤x₀ {h(x) dla x>x₀ przy założeniu, że g(x) oraz h(x) są ciągłe i określone w punkcie x₀ 1) Jeżeli g(x₀)≠h(x₀), to f(x) nie jest ciągła w punkcie x₀− Pochodna f'(x) nie istnieje. 2) Jeżeli g(x₀)=h(x₀) to określenie f(x) modyfikujemy do postaci: f(x)={ g(x) dla x≤x₀ {h(x) dla x≥x₀ a następnie obliczamy f '₋(x₀)=g'(x₀) oraz f '₊(x₀)=g'(x₀) Jeżeli obie pochodne jednostronne istnieją i są sobie równe to ich wspólna wartość jest równa f '(x₀). W twoim przykładzie ewentualne pochodne mogą istnieć dla x=0 lub x=1 lub x=2 lub x=3 bo tam funkcja f(x) ma skończoną wartość. Pozostałe warunki −(punkt (2) teorii)sprawdzaj.

	−6
Lim{x→3)f(x) =
	π

Lim_x→4f(x) nie istnieje http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%28x%28x-1%29%28x-2%29%28x-3%29%2Fsin%28pix%29+as+x+to+4 Postaraj się zrozumieć teorię i zastosować.

michał:

Mila: Michał zadanie robisz tak, jak zadanie( 1) tylko masz rozważyć więcej niż jeden punkt , w którym następuje zmiana wzoru. 1) dla x≠k i k całkowite, to funkcja jest różniczkowalna i już masz obliczoną pochodną dla x=k badasz granice:

	x(x−1)(x−2)(x−3)
lim{x→k+}
	sinπx

	x(x−1)(x−2)(x−3)
lim{x→k−}
	sinπx

jeśli granica f(x) istnieje i jest skończona to sprawdzasz czy jest równa f(k) wg wzoru x²−2x, jeżeli nie to brak pochodnej w tym punkcie.Jeżeli tak, to liczysz z definicji.