przestrzenie, algebra, pomocy:)
ohayou: Czy zbiory W1,W2 sa podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V=R
3?
W1={(x
1,x
2,x
3);x
1*x
2−x
3=0}
W2={(x
1,x
2,x
3);x
1+x
2−2x
3=0}U{(x
1,x
2,x
3):3x
1−2x
2+x
3=0}
Wydaje mi sie, że pierwsza jest. chociaż nie umiem tego ładnie i dosadnie rozpisać, bo
rozpisuje to z alfa
1x
1 i alfa
2x
2 gdzie x
1,x
2 to wektory, ale nie do końca rozumiem ta
metode..
.
2 wydaje mi sie ze nie bo jakby wziac pierwszy zbior jako U
1 drugi jako U
2, oraz wektor np.
(1,1,1,1) to nie jest on wektorem wspolnym dla tych dwoch zbiorow, a wiec nie zawieraja sie
one w sobie nawzajem? tak? Umiałby to ktoś wytłumaczyć
?
29 gru 17:53
Artur_z_miasta_Neptuna:
a czemu musi to być wektor wspólny
przecież masz tam sumę zbiorów a nie iloczyn
pytanie wskazówka −−− kiedy zbiór jest podprzestrzenią R
3
29 gru 17:57
MQ: Zadanie wogóle jest niejasno sformułowane.
Czy chodzi o sprawdzenie czy W1 i W2 są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej
V?
29 gru 18:01
ohayou: tak
29 gru 18:08
Artur_z_miasta_Neptuna:
to jak się sprawdza czy zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej
29 gru 18:09
ohayou: Zbior powiedzmy, że W jest podprzestrzenia przestrzenii liniowej V, jeżeli tworzy on przestrzen
liniowa z dzialaniami w przestrzeni V
ale jak to zastosować?
29 gru 18:11
MQ: No to z definicji sprawdzasz czy zachodzi:
1. u∊W1, α∊R ⇒αu∊W1
2. u,w∊W1⇒u+w∊W1
Tak samo z W2
29 gru 18:11
ohayou: są warunki, dokładnie 2 jeden na sume wektorow nalezacych do tego zbioru, drugi na iloczyn
wektora i stalej, gdzie stala nalezy do R, a wektor do zbioru.. a to się łączy w jeden warunek
o ktorym pisalem.. tak mi sie zdaje
29 gru 18:13
ohayou: mozesz zrobic jeden przyklad?
np. bierzemy W1, α1*u+α2*w=(α1u1+α2*w1 , α1*u2+a2*w2 , α1*u3+α2*w3)
29 gru 18:18
ohayou: (α
1u
1+α
2*w
1)*α
1*u
2+a
2*w
2− α
1*u
3+α
2*w
3=0 i co to daje?
29 gru 18:20
ohayou: i kiedy to np. mi nie zajdzie?
29 gru 18:21
MQ: Od razu widać, że W1 nie jest podprzestrzenią liniową.
Weźmy u=(1,1,1) i α=2
u∊W1, bo 1*1−1=0
ale:
αu∉W1, bo 2*2−2≠0
29 gru 18:23
ohayou: a w W2?
29 gru 18:27
MQ: W2 wg. mnie jest
29 gru 18:32
ohayou: o np. jak dla W
2 u=(1,1,1) to dla jednego zbioru, tego pierwszego jest ok, tak samo jak
wymnoze przez stala, a dla drugiego analogicznie tez wychodzi
29 gru 18:36
ohayou: dzieki!
29 gru 18:36
MQ: Sorry −− W2 też chyba nie, bo U1 jest liniowa, U2 też jest liniowa, a chyba nie
zachodzi:
U1⊂U2 lub U2⊂U1, a tylko wtedy suma mnogościowa dwóch podprzestrzeni liniowych możebyć
też podprzestrzenią liniową.
29 gru 18:37
ohayou: hmm, no nie zawieraja sie.. bo ten sam wektor musialby znajdowac sie i w tym i w tym.. a to
wykluczone, bo nie wszystkie spelniaja
, czyli mialem racje wczesniej?
29 gru 18:42
MQ: Tak, miałeś rację co do 2.
29 gru 18:43
ohayou: a jak mialbym przypadek {(x
1,x
2,x
3): x
1+x
2−2x
3=0, 3x
1−2x
2+x
3=0} to wtedy wiadomo ze
wektor (0,0,0) spelnia, ale nie moge znalezc drugiego... a z tego co wiem, suma wektorow tez
musi spelniac warunek
29 gru 18:45
MQ: Wtedy masz tzw. podprzestrzeń trywialną.
29 gru 18:47
ohayou: czyli podprzestrzen zerowa
tylko co mi to daje?
29 gru 18:51
ohayou: tzn, że jeżeli wektor zerowy należy, to nie ma żadnego innego, czyli to będzie podprzestrzeń
tylko jednego wektora?
29 gru 18:53
MQ: Nic ci to nie daje, bo ty masz:
W2={(x1,x2,x3);x1+x2−2x3=0}U{(x1,x2,x3):3x1−2x2+x3=0}
a nie
W2={(x1,x2,x3);x1+x2−2x3=0 ∧ 3x1−2x2+x3=0}
29 gru 18:53
ohayou: czyli nie ma rozwiazania?
29 gru 18:55
MQ: Nie tak prędko
Trzeba pokazać, że U
1 jest podprzestrzenią liniową (to łatwe) i U
2 jest podprzestrzenią
liniową (to też łatwe) i że ani U
1 nie zawiera się w U
2 ani na odwrót (to też łatwe −−
wystarczy po jednym wektorze).
29 gru 19:02
ohayou: a w tym nowym przypadku co dalem jest przecinek czyli 'i' a nie suma
co wtedy?
29 gru 19:28
MQ: Ja też dałem "i" −− logiczne −− "∧".
Suma, to logiczna alternatywa: "∨".
29 gru 19:34