Wykaż Maciek: Wykaż że jeśli a² + b²≤2 to a + b ≤ 2

Maciek: jak to zrobić, pomoże ktoś?

Vax:

a+b		a2+b2
	≤ √		≤ 1 ⇒ a+b ≤ 2 cnd.
2		2

Maciek: nie rozumiem zabardzo

Vax: Udowodnij na początku, że dla dowolnych rzeczywistych a,b zachodzi:

a+b		a2+b2
	≤ √
2		2

Maciek: czemu pierwiastek z a² + b²/2?

Vax: No taka jest nierówność, z niej będzie wynikała teza zadania.

PW: @Maciek: Jeżeli chcesz wszystko dokładnie zrozumieć, to najpierw popatrz: Dla dowolnych x,a,b∊R prawdziwa jest nierówność (x−a)² + (x−b)² ≥ 0. Nic nie trzeba dowodzić, rzecz jest oczywista − suma kwadratów dwóch liczb jest nieujemna. Nierówność ta jest prostą nierównością kwadratową: (x²−2ax+a²) + (x²−2bx+b²) ≥ 0 2x² −2(a+b)x +(a²+b²) ≥ 0. Skoro ta nierówność kwadratowa jest prawdziwa dla wszystkich x∊R, to jej wyróżnik Δ jest niedodatni (nie ma pierwiastków albo jest jeden, czyli Δ≤0). Δ≤0 ⇔ [−2(a+b)]² − 4^.2^.(a²+b²) ≤0 4(a+b)² − 8(a²+b²) ≤0

	(a+b)2		a2+b2
		≤
	4		2

	a+b		a2+b2
(		)2 ≤
	2		2

Czyta to się: kwadrat średniej arytmetycznej dwóch liczb jest mniejszy lub równy średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb. To właśnie twierdzenie przytoczył Vax (po obliczeniu pierwiastków obu stron, co dla nieujemnych a i b jest oczywiste). Dokładniej:

	a+b		a2+b2
|		| ≤ √		,
	2		2

a ponieważ

	a+b		a+b
		≤ |		|,
	2		2

więc napisał prawdę − nierowność jest prawdziwa dla wszystkich a i b. Dalsze rozważania już chyba nie budzą wątpliwości. Pewnie w szkole nie było tego twierdzenia, ale warto je sobie przyswoić, bo niektóre dowody można dzięki niemu przeprowadzić błyskawicznie, jak to było widać wyżej. Proponuję Ci, abyś przyswoił sobie również nierówność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną. Działają one w wersji dla większej liczby argumentów (nie tylko dwóch a i b), co też warto wiedzieć. tego typu zadania pojawiają się na maturze.

Krzychu: dlaczego ≤1 w trzecim poscie?

pigor:

	a2+b2		a2+b2
... , bo z założenia a2+b2≤ 2 /:2 ⇒		≤ 1 ⇒ √		≤ 1 . ...
	2		2

Krzychu: w takim razie vax tam z zalozenia korzystał chyba.

Vax: Założenia są po to, żeby z nich korzystać...

Krzychu: o teze mi chodziło, skorzystałeć z tego ze a+b≤2

PW: Dowód twierdzenia polega na tym, by przyjmując prawdziwość z a ł o ż e n i a wykazać prawdziwość t e z y, a nie odwrotnie.