Rozwiązywanie równań rekurencyjnych niejednorodnych dsaf: Przykład równania rekurencyjnego niejednorodnego a_n=b₁a_n−1+b₂a_n−2+f(n) a_n−b₁a_n−1−b₂a_n−2=f(n) Najpierw znajdziemy rozwiązanie ogólne a_n^o a_n−b₁a_n−1−b₂a_n−2=0 Rozwiązujemy równanie charakterystyczne a_n=xⁿ xⁿ−b₁xⁿ⁻¹−b₂xⁿ⁻²=0 /xⁿ⁻² x²−b₁x−b₂=0 Dla Δ≠0 pierwiastkami będą dwie liczby α₁ i α₂ krotności 1 więc przewidujemy rozwiązanie ogólne a_n=Aα₁+Bα₂. Dla Δ=0 mamy jeden pierwiastek α₁ krotności 2 więc przewidujemy rozwiązanie ogólne a_n=(An+B)α₁. Zawsze przewidujemy współczynnik przy rozwiązaniu jako wielomian stopnia o 1 mniejszy niż krotność rozwiązania (co widać na przykładzie powyżej). Analogicznie do równań innego stopnia niż 2. Teraz algorytm przewidywania rozwiązania szczególnego, które oznaczyłem wyżej na zielono jako f(n). 1). Jeśli f(n) jest wielomianem stopnia d i rozwiązanie ogólne nie jest wielomianem, to przewidujemy a_n^s=c_dn^d+c_d−1n^d−1+...+c₀. Dla przykładu, jeśli ogólne nie jest wielomianem, a f(n)=3n (wielomian stopnia pierwszego) to przewidujemy a_n^s=Cn+D 2). Jeżeli f(n) jest wielomianem stopnia d i rozwiązanie ogólne a_n^o jest wielomianem stopnia k, to a_n^s=n^k+1(c_dn^d+...+c₀). 3). Jeżeli f(n) jest postaci wykładniczej f(n)=R*βⁿ i β nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to a_n^s=C*βⁿ 4). Jeżeli f(n)=R*βⁿ i β jest pierwiastkiem krotności k równania charakterystycznego, to a_n^s=C*n^k*βⁿ. 5). Jeżeli f(n) jest sumą pewnych funkcji (wielomiany, f. wykładniczych), to przewidywane rozwiązanie szczególne będzie sumą odpowiednich funkcji dla poszczególnych składników. Współczynniki A, B, C, D itd. w rozwiązaniach ogólnych i szczególnych obliczamy rozwiązując odpowiednie układy równań po podstawieniu a₀, a₁ do a_n itd. Jest też jeden o wiele szybszy sposób znajdywania współczynników rozwiązania szczególnego (nie trzeba wtedy rozwiązywać układów równań z 4, 5, 6 czy nawet więcej niewiadomych), ale tego nie chce mi się już rozpisywać Odpowiedzą będzie wzór na n−ty wyraz ciągu a_n=a_n^o+a_n^s