Udowodnij Rodney: Zmagam się właśnie z zadaniem konkursowym i zastanawiam się jak je ugryźć... Probowalem googlac pomocy, ale jakos nie wyszlo... Nie wiem czy moge tutaj napisac tresc tego zadania, wiec moze najpierw sprobuje zapytac inaczej Mam a₁, a₂, ..., a_n > 0 oraz a₁a₂...a_n = 1 i mam udowodnić pewną nierówność... i tak sie zastanawiam... jak to ugryźć? Myslalem o indukcji, ale do tego potrzebny bylby chyba jakis wzor na n−ty wyraz ciagu (a_n) Chce ktoś w ogole pomoc? Moze gadu−gadu? Podac dalsza tresc zadania?

Krzysiek: możesz indukcyjnie... teza będzie taka: a₁ ,...,a_n+1>0 , a₁*...*a_n *a_n+1=1 i ta nierówność

Rodney: dziekuje Krzysiek chyba juz wiem jak to zrobic

Rodney: jednak mam pewna watpliwosc... dochodze na koniec do takiej nierownosci: a_k+1 ≥ 1 W sumie mogę chyba teraz cofnąć się do tezy: a₁a₂...a_ka{k+1}=1 Podstawiam z poprzedniego załozenia: a₁a₂...a_k=1 1*a_k+1=1 a więc a_k+1=1 i wtedy ta moja nierownosc do ktorej doszedlem jest prawdziwa, ale to chyba troche bez sensu... Moze sie myle, ale to sprawia, ze wszystkie kolejne wyrazy tego ciagu musza byc rowne 1 a przeciez mozliwe jest np a₁ = ¹₂ oraz a₂ = 2, bo wtedy tez spelniaja warunki... Zrozumial w ogole ktos o co mi chodzi? Bo nie wiem czy opisalem to dosc jasno No i pytanie: czy to ma sens? Czy takie rozumowanie rzeczywiscie jest dobre?

Artur_z_miasta_Neptuna: tam na pewno jest a1*...*an=1 a nie −> 1

Artur_z_miasta_Neptuna: jeżeli jest a1*...*an=1 (jako wyrażenie = 1) to znaczy, że jest to ciąg stały a_n = 1 jeżeli natomiast masz tam lim a1*...*an=1 lub a1*...*an −> 1 ... wtedy już tak ładnie nie jest

Rodney: przepisujac znak w znak to tam jest a₁a₂...a_n = 1 takze podejrzewam, ze chodzi o to ze iloczyn wszystkich wyrazow jest rowny 1

Artur_z_miasta_Neptuna: chwileczkę....możesz przepisać treść zadania czy jest napisane, że jest to nieskończony ciąg

Rodney: hm... a czemu ciag staly ? przeciez gdybysmy mieli np.

	1
a1 =
	3

	4
a2 =
	3

	9
a3 =
	4

i to tez spelnia warunki, bo wszystkie sa dodatnie i ich iloczyn = 1 (jesli nie mam racji to chcialbym wiedziec i moc zrozumiec dlaczego )

Artur_z_miasta_Neptuna: czy to jest po protu 'n' dodatnich liczb takich, że ich iloczyn =1 jeżeli tak ... to na 99% indukcja odpada −−− nie masz podanego, że 'dla każdego 'n' ten warunek (iloczynu) jest spełniony, jak również ów nierówność masz tylko, że 'dla jakiegoś 'n' ' dla którego jest spełniony taki warunek, masz udowodnić tą nierówność a mógłbym poznać tą nierówność

Artur_z_miasta_Neptuna: nie spełnia dla n=1, n=2 dopiero dla n=3 spełnia warunek

Rodney: Niech a₁, a₂, ..., a_n > 0 będą liczbami takimi, że a₁a₂...a_n = 1. Udowodnij, że (1+a₁)(1+a₂)...(1+a_n) ≥ 2ⁿ. Oto cała tresc zadania starannie przepisana Nic wiecej nie ma

Artur_z_miasta_Neptuna: ojjjjj indukcja odpada

Rodney: szkoda w sumie a co mozna z tym zrobic? ale jak juz mowilem... nie zalezy mi na rozwiazaniu, wolalbym podpowiedzi

Rodney: chcialbym tylko dodac, ze powinna byc to jakas metoda na poziomie liceum

Artur_z_miasta_Neptuna: moją pierwszą sugestią byłby wzór Viete'a dla wielomianów stopnia n−tego, ale ... to chyba ślepy trop jest

Artur_z_miasta_Neptuna: możesz pójść drogą − wykazać, że:

	1
(1+a)(1+		) ≥ (1+1)(1+1) dla dowolnego a∊R+
	a

i stąd przejść do a₁*a₂*...*a_n=1

Rodney: no wykazanie tego jest proste... a jak mialoby wygladac takie przejscie?

PW: Po dwóch godzinach myślenia doszedłem do wniosku, że zadanie jest (jak każde, którego rozwiązanie już znamy) bardzo proste. Żeby nie popsuć Ci przyjemności odkrywania tego "bardzo prostego", podpowiem tylko: Nierówność a+b ≥ 2√ab zastosować do 1+a_k = a₁a₂^....^.a_n +a_k. I nie stresuj się, że nie wpadłeś na to od razu. To jest zadanie z rosyjskiego zbioru z 1979 roku, do którego to zadania nie ma nawet wskazówki.

pigor: ... Niech a₁, a₂, ... ,a_n > 0 będą liczbami takimi, że a₁a₂ ... a_n = 1. Udowodnij, że (1+a₁)(1+a₂) ... (1+a_n) ≥ 2ⁿ. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ... , no to może np. tak : z nierówności ¹₂(a+b) ≥ √ab mamy kolejno (1+a₁)(1+a₂) ... (1+a_n)= 2*¹₂(1+a₁)* 2*¹₂(1+a₂)*...* 2*¹₂(1+a_n)= = 2ⁿ * ¹₂(1+a₁)* ¹₂(1+a₂)*... * ¹₂(1+a_n) ≥ ≥ 2ⁿ √1*a₁* √1*a₂*...* √1*a_n= 2ⁿ √a₁a₂ ... a_n= 2ⁿ √1= 2ⁿ. ... =