udowodnij granicę z definicji matroz: Witam, mam problem z udowadnianiem granic z definicji.

	2n−1
Przykładowo lim		=2
	n+1

n→∞ Z tego co wiem to dla każdego ∊>0 musi być

	2n−1
|		−2|<∊
	n+1

	3
wychodzi że n>		−1
	∊

Co dalej trzeba zrobić? Proszę o jakieś szersze w miarę możliwości wyjaśnienie. Pozdrawiam.

Aga1.: I dobrze Ci wychodzi

	3
n>		−1 (1)
	ε

Jeżeli następnie przyjmiemy n₀=3/∊−1, to nierówność(1)możemy zapisać następująco: n>n₀ (2). Wystarczy na koniec zauważyć,że z nierówności (2), przy n₀=3/∊−1

	2n−1
wynika nierówność I		−2I<∊, co zgodnie z definicją granicy dowodzi,że granicą tego
	n+1

ciągu jest liczba 2. Warto podkreślić, że występująca w tej definicji liczba n₀ zależy (jest funkcją)od liczby ∊. Jest to funkcja ściśle malejąca ∊, tzn. im mniejsze będziemy brać wartości ∊, tym większe będą wartości n₀.

	1
W tym przykładzie, gdy ∊=		, n0=8,
	3

	1
gdy ∊=		, n0=299 itd.
	100

matroz: Dziękuję bardzo za pomoc Mam jeszcze jedno pytanie: Załóżmy że ciąg a dąży do e, ciąg b dązy do −∞ Dlaczego ciąg a^b dąży wtedy do 0? chodzi mi o

	1		n2+1		2−n
lim (1+		)do potęgi(		)*n2*		=0
	n2+1   2−n		2−n		n2+n

n→∞

Aga1.: Podaj przykład ,który masz rozwiązać.

matroz: właśnie ten, który jest na końcu mojej wypowiedzi; jest to końcówka rozwiązania polecenia: Oblicz:

	n2+2
lim [		]n2
	n2+n

n→∞ (tam jest n² w potędze)

matroz: Trzeba rozwiązać wykorzystując fakt:

	1
lim (1+		)an = e dla an→∞ lub an→−∞
	an

n→∞

Aga1.:

n2+2		2−n		1
	=1+		=1+
n2+n		n2+n		n2+n   2−n

matroz: Tak, to już mam... Chodzi mi tylko o to, że po przekształceniu potęgi z n² na:

	n2+2		2−n
n2*		*
	2−n		n2+n

Wychodzi granica, podam symbolicznie: [e^−∞] Następnie uznaje się że wynosi ona po prostu 0 I pytanie dlaczego

matroz: Jakie są reguły rządzące granicami stanowiące o czymś takim?

asdf:

2   (1 + )n2   n2		e2
	=		= 0
1   (1+ )n2   n		∞

Chyba..nie jestem pewien.

Aga1.:

	1
e−∞=
	e∞

matroz: O jaaaaa Dlaczego ja na to nie wpadłem od razu Dziękuję Aga1

Artur_z_miasta_Neptuna: ja mam tylko jedną taką uwagę

	1
należy zawsze pamiętać, że n0∊N+ a więc napisanie np. n0 =		to za mało ... bo
	ε

dla nieskończenie wielu ε okaże się, że n₀ nie będzie liczbą naturalną ... dlatego zwykle robi się:

	1
n0 = [		] + 1 ... czyli 'najmniejsza liczba całkowita, większa od wartości która będzie
	ε

spełniała nierówność daną w tw. Cauchy'ego '