pochodne michał: Reguła l'Hospitala

	1		1		sin(x) − x
a) limx→0(		−		) = limx→0(		)
	x		sin(x)		xsin(x)

Licznik pochodną z (sin(x) − x)' = cosx − 1 Mianownik pochodna z (xsinx)' = sinx + xcosx

	cosx − 1
limx→1
	sinx + xcosx

Kolejna pochodna: Licznik (cosx − 1)' = −sinx Mianownik (sinx + xcosx)' = cosx + (cosx − xsinx) = 2cosx − xsinx I jak to dalej obliczyć? b) lim_x→∞ x^1/x

	1		x1/x
f'(x) = (x1/x)' = (elnx1/x)' = e1/x * lnx * (		)' = −
	x		x2

I to jak dalej pociągnąć?

Aga1.: 1) Pochodne obliczone dobrze, więc

	−sinx		−sin0		0
limx→0		=		=		=0.
	2cosx−xsinx		2cos0−0*sin0		2−0

Grześ: b) nie ma regułe de L'Hospitala do wyrazenia nieoznaczonego ∞⁰

	0		∞
Doprowadź wyrażenie do		lub
	0		∞

guess who: x^1/x = e^1_x*ln(x)

ln(x)

∞

(ln(x))'

1/x

1

1

lim

[

] =H = lim

= lim

= lim

[

] =

x

∞

(x)'

1

x

∞

0

guess who: i podstawiając wynik tej drugiej granicy do pierwszej: e^1_x*ln(x) = e⁰ = 1

michał:

	ln(x)
nie rozumiem skąd to		w drugim?
	x

	ex − e−x
c) limx→0
	sin(x)

mianownik: sin²(x) licznik: 2e^x * sin(x) − (e^x − e^−x)cos(x) Czy możemy licznik tylko np.: jedną pochodną z licznika? Czy zawsze licznik i mianownik?

Aga1.: b) obliczył granicę wykładnika

	1		lnx
lim		*lnx=lim
	x		x

lime^coś=e^limcoś. Liczymy pochodną licznika i mianownika

Aga1.: c) Nie liczysz pochodnej ilorazu tylko oddzielnie pochodna licznika to 2e^x, a mianownika cosx, granica wynosi 2.

michał:

	ex − e−x
c) limx→0
	sin(x)

Pochodne: Licznik: e^x + e^x Mianownik: cos(x)

2 * 1
	= 2
1

	2cos(x) + x2 − 2
d) limx→0
	xsin(x) − x2

Pochodne: Licznik: −2sinx + 2x Mianownik: sin(x) + xcos(x) − 2x = sin(x) + x(cos(x) − 2) Nadal nic liczymy drugą pochodną: Licznik: −2cosx + 2 Mianownik: −cos(x) + cos(x) − xsin(x) − 2 I co dalej?

michał:

Aga1.: Teraz ładnie zapisz i na końcu podstaw za x 0 i granica wyjdzie

−2*cos0+2		0
	=		=0
0*sin0−2		−2

michał: e) lim_x→∞ xe^−x (xe^−x)' = e^−x − xe^−x I nie wiem jak podstawić tę nieskończoność. Brać jakieś dowolne liczby czy co?

michał: ale ogólnie dobrze? e czemu jest źle?

	x − 1		x − 1		x − 1   √x −   2√x
e) f(x) = (		10)' = 10 * (		)9 * [		]
	√x		√x		x

ok? (przed skrócniem rzecz jasna)

michał: Nie ten temat

michał: Mógłby ktoś odpowiedzieć na 23:26?

michał:

michał: