. asdf: ograniczenie ciągu:

	nn
an =
	n!

	(n+1)n+1
an+1 =
	(n+1)!

an+1		(n+1)n
	=		> 1
an		nn

Ciąg jest rosnący.

	nn
an =		jest ograniczony z dołu przez 1?
	n!

nⁿ > n! dla n ≥ 1

11
	= 1...
1!

W odpowiedzi jest, że ograniczony jest zerem, czemu?

Mila: Każdy ciąg rosnący o wyrazach dodatnich jest ograniczony z dołu przez zero. ( tu można powiedzieć, że to na wyrost ograniczenie).

asdf: a jak będzie z takim czymś:

	n2
an =
	2n

	n+1)2
an+1 =
	2*2n

	(n+1)2 − 2*n2
an+1 − an =		= U{−n2 + 2n + 1]{2*2n} .. słabe wytłumaczenie
	2*2n

an+1		n+1)2   2*2n		(n+1)2		2n
	=		=		*		=
an		n2   2n		2*2n		n2

(n+1)2
	.. też słabo oszacowane
2n2

a tak:? 2ⁿ < 2*2ⁿ (lewo to a_n, prawo to a_n+1)

1		1
	>		// * n2
2n		2*2n

n2		n2
	>
2n		2*2n

i dodaje takie coś:

(n+1)2		n2		n2
	>		>
2n		2n		2*2n

wniosek: a_n > a_n+1 Jest to ciąg malejący. Teraz określam: n² < 2ⁿ dla: n = 1: 1² < 2¹ (prawda) dla n = 2: 2² < 2² (fałsz) dla n = 3: 3² < 2³ (fałsz) dla n = 4: 4² < 2⁴ (fałsz) dla n = 5: 5² < 2⁵ (prawda) dla n = 6: 6² < 2⁶ (prawda) i różnice są coraz bardziej widoczne. Odpowiedź to:

n2
	jest malejący od n0 = 5? (w odpowiedzi jest od n0 = 3)
2n

Chodzi mi też czy ten sposób szacowania czy ciąg jest malejący czy rosnący jest dobrze określony, bo w zadaniach już nie ma wskazówek, a najbardziej mi zależy nad tym, by zrozumieć ten temat)

Mila:

	n2
an=
	2n

	12		1
a1=		=
	21		2

	22
a2=		=1
	22

	32		9
a3=		=
	23		8

	42		9
a4=		=1<
	24		8

	52		25
a5=		=		<1 zatem dla n≥3
	25		32

Ale to nie jest dowód, udowodnimy :

−n2 + 2n + 1
	<0 i n∊N+⇔
2*2n

−n²+2n+1<0⇔ n<(−1−√2 lub n>1+√2 i n∊N₊⇔n≥3 i n∊N₊

Mila: Znikam.

PuRXUTM: Proszę was w święta się uczyć ? Odpocznijcie

asdf: Dzięki, a jak ograniczyć taki ciąg?

	2n + 1
an =
	3n+1

	3
a1 =
	4

	5		1
a2 =		=
	10		2

	9
a3 =		≈ 0,32
	28

	17
a4 =		≈ 0,207
	81

	2*2n + 1
an+1 =
	3*3n + 1

	2n+1
an =
	3n+1

	2*2n+1		2n+1
an+1 − an =		−		=
	3*3n+1		3n+1

2*6n+2*2n+3n+1−(3*6n+2n+3*3n+1)
	=
(3*3n+1)(3n+1)

−6n + 2n − 3n		6n − 2n + 3n
	= −
3*3n + 1)(3n+1)		mianownik

6ⁿ + 3ⁿ > 2ⁿ ⇒ 2ⁿ*3ⁿ + 3ⁿ > 2ⁿ ⇒ 3ⁿ(2ⁿ+1) > 2ⁿ. Czyli mianownik będzie dodatnik, a przed ułamkiem stoi minus więc jest to ciąg malejący tak?

asdf: jak to udowodnić?

	n3
an =
	10n

	1
a1 =
	10

	8
a2 =
	100

	27
a3 =
	1000

...

	(n+1)3
an+1 =
	10*10n

	n3 + 3n2 + 3n + 1		n3
an+1 − an =		−		=
	10*10n		10n

n3 + 3n2 + 3n + 1 − 10n3		−9n3 + 3n2 + 3n + 1
	=
10*10n		10*10n

−9n³ + 3n² + 3n + 1 < 0 n∊N₊ też próbowałem iść taką drogą (chyba bardziej trafną: )

	n3
an =
	10n

	(n+1)3
an+1=		=
	10*10n

an+1		(n+1)3
	=		< 1, bo:
an		10n3

(n+1)³ < 10*n³ dla n ≥ 1 Czyli ciąg jest ograniczony zerem (m=0) Dobrze jest to udowodnione?

(..): 6ⁿ − 2ⁿ + 3ⁿ =3ⁿ*2ⁿ−2ⁿ+3ⁿ=2ⁿ(3ⁿ−1)+3ⁿ>0

asdf: zgadzam, się, ale jest minus przed ułamkiem.

(..):

	n3
a=		− ciąg o wyrazach dodatnich,ciąg malejący dla n>1⇒ciąg jest ograniczony z dołu
	10n

przez 0,

	1
z góry ograniczony przez		?
	10

asdf: chyba tak.

(..): poprawka , n≥1 do 21:19 D0 komentarza 20:54 masz różnicę ujemną to ciąg malejący.

asdf: A dobrze mam to udowodnione? A jak z przykładem z 20⁴³?

(..): Dobrze.Tylko trzeba pisać na koniec komentarz. Patrz 21:19

asdf: tak. to już nie problem

asdf: a jak zrobić to?

	5*7*...*(3+2n)
an =
	4*7*...*(1+3n)

	5*7*...*(3+2n)*(3+2n+2)
an+1 =
	4*7*...*(1+3n+3)

	2n+5
an+1 = an*
	3n+4

an+1		2n+5
	} =
an		3n+4

	2n+5
wychodzi, że q =
	3n+4

I teraz sprawdzam pod a_n, czy pod q?, stawiam na q : 2n + 5 = 3n + 4 2n + 5 < 3n +4 dla: n=1: 2*1 + 5 < 3*1 + 4 7<7 (fałsz) 2*2 + 5 < 3*2 + 4 4 + 5 < 6 + 4 9 < 10

	5
a1 =
	4

	5*7		5
a2 =		=
	4*7		4

	5*7*9
a3 =		=
	4*7*10

	5*7*9*11
a4 =
	4*7*10*13

ODP: Ciąg jest malejący n₀ = 2, ale jest monotoniczny od n=1..Tak mi się zdaje. Dobrze wyznaczyłem też a₁, a₂, a₃

asdf:

(..): a₁,a₂,a₃,a₄ dobrze Wyrazy ciągu są dodatnie, badasz czy iloraz jest mniejszy, czy większy od jedynki

an+1		2n+5
	=
an		3n+4

Przypuszczam, że , iloraz

2n+5
	<1 /*(3n+4) [mogę pomnożyć przez wyrażenie, bo dla n∊N+ jest dodatnie]
3n+4

2n+5<3n+4 n−1>0⇔n>1 Iloraz

an+1
	<1 dla n>1⇒ciąg an jest malejący począwszy od drugiego wyrazu ciągu
an

Ciąg o wyrazach dodatnich , ograniczony z dołu przez 0 i z góry przez ...

asdf:

	5
z góry przez		?
	4

Mila: Ze Skoczylasa. Świąteczne przyjęcia źle wpływają na refleks i myślenie.

asdf: To są właśnie ze Skoczylasa.

	1		2		3		4
limn→∞ pn{		+		+		+
	n		n2		n3		n4

można to tak ograniczyć?:

1

1

2

3

4

4

4

4

4

n√

<n√

+

+

+

≤n√

+

+

+

n

n

n2

n3

n4

n

n

n

n

granicą będzie 1.

asdf: ?