Granica w Punkcie WKP: Witam mam pytanie na temat granicy w punkcie. Czy istnieje limx^x przy x→0⁻ ?

guess who: o podbijam, bo też mnie ciekawi tak patrząc na wykres "x^x" na jogle.pl/wykresy to wygląda jakby od 0⁻ do niczego nie dążyło, a od 0⁺ ma granicę w 1, ale jak dokładnie do czegoś takiego dojść nie widząc wykresu? i jeszcze co do samego wykresu − widać, że dla argumentów ujemnych dziedzina zawiera jedynie te całkowite. A co z ułamkami? Przecież chyba można pierwiastkować liczbę ujemną, jeżeli jest to

	1
pierwiastek nieparzystego stopnia? Czyli np. (−		)do(−1/3) to pierwiastek 3go stopnia z
	3

−3, czyli ≈−1,44, a na wykresie nie jest zaznaczone.

WKP: udowodnilem z dla prawej strony zera wlasnie jeden ale do lewej nie mam pomysłu nawet jak się zabrać. może odpowiedz jest w zespolonych albo cos takiego?

Bogdan: f(x) = a^x, do jakiego zbioru liczbowego należy a?

WKP: dodatnich rzeczywistych?

WKP: znaczy tak mnie dotychczas w szkole uczyli. Ale wczesniej uczyli mnie ze x² +1 nie ma pierwiastkow więc moze jest jakies uogólnienie.

Bogdan: a∊(0, 1)∪(1, +∞) Jeśli f(x) = x^x, to czy x∊(0, 1)∪(1, +∞) ?, a jeśli tak, to czy ma sens badanie granicy dla x→0⁻ ?

Bogdan: tak wygląda wykres funkcji f(x) = x^x

Bogdan: a w takim razie jak obliczyć granicę przy x→0⁺

guess who: skąd akurat taka dziedzina?

Bogdan: z definicji funkcji wykładniczej w zbiorze R

WKP: lim x^x = lim e^lnxx=lim e^x*lnx x=1/y skoro x→0⁺ wiec t→∞

	1   ln   t		ln1−lnt		lnt
lim e		=lim e		=lim e0−lntt= lime−		=e−0=1
	t		t		t

wszedzie jest e^coś

WKP:

	1
wybacz x=
	t

WKP: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Ex przy okazji

Bogdan:

WKP: ale chodziło mi o lewą strone. Przedstawi ktos dowód za lub przeciw granicy?

Bogdan: Nie czytasz ze zrozumieniem. Ponawiam więc pytanie: do jakiego zbioru liczbowego należy a w funkcji f(x) = a^x

WKP: ustalilismy że dla dodatnich rzeczywistych bez 1. podchodzimy do zera z prawej strony. I tu dochodzimy do mojego pytania. Czy mozna dojsc do zera z lewej strony i czy ma to sens? czy jest jakies uogólnienie na podstawe ujemną? użycie liczb zespolonych, lub jeszcze innych ciał? wybacz, jesli są to głupie pytania to przynajmniej się dowiem że takie rzeczywiscie są.

WKP: ?

Ajtek: Odpowiedz sobie sam na to pytanie. F. wykładnicza ma sens gdy a jest dodatnią liczbą

	−1
rzeczywistą i ≠1. Teraz czy liczba		należy do tego przedziału.
	∞

Dla takiej liczby chcesz liczyć granicę lewostronną.

WKP: od 24 godzin proszę zeby ktos mi powiedzial czemu nie ma tam granicy... wystarczy napisac nie ma uogólnienia na dziedzinę liczb ujemnych

Ajtek: Nie rozumiem co masz na myśłi pisząc: "wystarczy napisac nie ma uogólnienia na dziedzinę liczb ujemnych"

WKP: po prostu byłem ciekaw czy jest granica lewostronna x^x wiec zapytałem. dostałem odpowiedz ze nie ma to sensu dla definicji funckji wykladniczej a wiec przyjąłem że problem tkwi własnie w niemozliwosci wyciągnięcia pierwiastka z liczb ujemnych. Zapytałem wiec czy jest jakies uogólnienie na to przez co istniała by funkcja wykladnicza( funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej?) taka że mozna by było podejsc do zera z lewej strony a tym samym policzyc limx^x w x→0⁻

WKP: podbijam

Artur_z_miasta_Neptuna: na początek na pewno trzeba zapisać tą liczbę w formie liczby zespolonej ... a następnie: albo po prostu wyznaczyć granicę albo zbadać, że ów funkcja jest ciągła, a wtedy już z górki ... wracamy do pierwotnej postaci funkcji

	1
wybieramy xn = −		badamy, że dla podciągu xn −> 0 zachodzi f(xn) −>1 co widać od razu
	2n

z prawostronnej granicy a skoro funkcja jest ciągła, to mamy w tym momencie załatwiony każdy podciąg tej funkcji ... więc granicą lewostronną będzie '1'.