2x + log(1+4^x) = 2xlog5 + log6 Dominik: 2x + log(1+4^x) = 2xlog5 + log6 jak to ugryzc? nie mam na to zadnego pomyslu, bo zamieniajac 2x na logarytm i 2x do log5 otrzymam potegi ze zmienna x w wykladniku, ale o roznych podstawach. nie mam zielonego pojecia co z tym zrobic.

Mila: 2x + log(1+4^x) = 2xlog5 + log6 (2x−2xlog5)+log(1+2^2x)=log6 2x(1−log5)+log(1+2^2x)=log6 2xlog2+log(1+2^2x)=log6 log2^2x+log(1+2^2x)=log6 log(2^2x*(1+2^2x)=log6 2^2x*(1+2^2x)=6 teraz podstawienie 2^2x=t i t>0 dokończ

Dominik: sprytnie. od 4. linijki wszystko jasne. dzieki! dla formalnosci: t(1 + t) = 6 t² + t − 6 = 0 t = 2 v t = −3 sprz. 2^2x = 2 2x = 1

	1
x =
	2

co sie pokrywa z odp w zbiorze.

Mila: dobrze. 4 linijka nie jest jasna? ( 1=log10; log10−log5=log(10:5)=log2)

Dominik: wlasnie wszystko jest jasne. chodzilo mi o to, ze od 4 linijki zadanie staje sie banalnie proste (jakby wczesniej nie bylo...). jeszcze raz dzieki!

Mila:

Dominik: mam jeszcze problem z tym: log₅120 + x − 3 + log₅(0,2 − 5^x−4) = 2log₅(1 − 5^x−3) pozamienialem wszystko na logarytmy i wszystkie potegi przekstzalcilem do postaci 5^x * jakas wartosc liczbowa (by uzyc t = 5^x). ale np 5⁻⁴ za ladne juz nie jest i wydaje mi sie, ze zadanie powinno sie jakas inna metoda rozwiazac niz poprzez zmudne wyliczanie i operowanie na takich liczbach.

Mila: Teraz muszę zniknąc, gdy wrócę po 20 a nikt nie pomoże , to napiszę.

Dominik: log_3x3 = (log₃(3x))²

	1
x > 0 ∧ x ≠
	3

log33
	= (log3(3x))2 /*log3(3x)
log3(3x)

(log₃(3x))³ = 1 /³√ − czy moge tak zrobic? log₃(3x) = 1 3x = 3 x = 1 odp niby sie zgadza, ale nie jestem pewien czy moge tak pierwiastkowac.

ICSP: akurat w tym wypadku możesz

Dominik: no wlasnie, tak mi sie wydaje. a w jakich wypadkach nie moge?

ICSP: w pewnych przypadkach. Jest ich dużo więc nie będę wymieniał. Zapewne niedługo zatkniesz się na niektóre.

Dominik: haha, no spoko. zapewne za pare minut przylece z pytaniem, w ktorym bedzie taki przypadek. a jestes w stanie cos poradzic na rownanie ciut wyzej?

ICSP: z godziny ?

Dominik: 15:59

ICSP: spojrzę

ICSP: zauważ że : log₅ (1 − 5^x−3) = 1 + log₅ (0,2 − 5^x−4) teraz zadanie już samo się rozwiązuje.

Dominik: kolejne... 2log_xa + log_axa + 3log_a²xa = 0 a > 0 ∧ a ≠ 1 oczywiscie trzeba wyliczyc x D: x > 0 ∧ a ≠ 1

	logxa		3logxa
2logxa +		+		= 0
	logxax		logxa2x

	logxa		3logxa
2logxa +		+		= 0
	logxa + 1		2logxa + 1

co teraz? moze to oczywista oczywistosc, ale jestem zmeczony i brak mi pomyslow.

ICSP: t = log_x a i jedziesz dalej

Dominik: dalej nie mam pomyslu. otrzymuje wielomian 3 stopnia z jednym pierwiastkiem, co raczej jest zle, bo w odp zbioru mam 2 rozwiazania tego rownania.

ICSP:

	t		3t		3
2t +		+		= 0 ⇒ t = 0 v t = −2 v t = −		ale przecież t = 0 odpada
	t+1		2t+1		4

Dominik: dobra, rabnalem sie troche przy liczeniu. rzeczywiscie wychodza takie pierwiastki, jakie podales. czemu t = 0 odpada? skad sie bierze to zalozenie?

Dominik:

	1
przeciez dziedzina rownania z t to rzeczywiste bez −1 i −		, a logxa moze byc rowne 0.
	2

czy sie gdzies myle? pewnie tak, bo w zbiorze sa 2 odp, ale gdzie?

ICSP: log_x a = 0 ⇒ a = 1 ⇒ sprzeczność

Dominik: ..... az mi wstyd. dzieki

Mila: zadanie z 15:59 już bez problemów?

Dominik: Mila, wszystko jasne log_x2 * log_2x2 = log_4x2

	1		1
x ∊ (0, ∞)\{		,		}
	4		2

	logx2		logx2
logx2 *		=
	logx2x		logx4x

	logx2		logx2
logx2 *		=
	1 + logx2		1 + 2logx2

log_x2 = t

	t
U{t2]{1 + t} =
	1 + 2t

t² + 2t³ = t + t² 2t³ − t = 0 t(2t² − 1) = 0 Δ = 8

	√2		√2
t = 0 v t =		v t = −
	2		2

0 odpada i dalej:

	√2		√2
logx2 =		v logx2 = −
	2		2

	√2
x		= 2
	2

	2><?php echo 'dupa'; ?>span style="font-family:times; margin-left:1px; margin-right:1px">12
x/div>		= 2
	21

	1
x2−		= 2
	2

	1
x/div>		= 2
	√2

co teraz? niezbyt dobry jestem z wykladniczej i nie mam zielonego pojecia co zrobic.

pigor: ... ja bym przeszedł na logarytm o podstawie 2 , np. tak:

	√2		1		1
logx2=		⇔		=		⇔ x=2√2 i podobnie pozostałe
	2		log2x		√2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−− oczywiście przejść na podstawę 2 mogłeś już na początku , wtedy − moim zdaniem − miałbyś ... łatwiej