. asdf: Jakby miał ktoś chwilę jutro: Mam zadanie:

	1*3*5*...*(2n−1)
Wykazać, że ciąg an =		jest malejący.
	2*4*6*...*2n

	(2n − 1)!
Według mnie jest to silnia po prostu:
	2n!

liczę a_n+1

	(2(n+1) − 1)!		(2n+2−1)!		(2n+1)!
an+1 =		=		=
	2(n+1)!		(2n+2)!		(2n+2)!

	an+1		(2n+1)!   (2n+2)!
dzielę		=		=
	an		(2n − 1)!   2n!

(2n+1)!   (2n+2)!		(2n+1)!*2n!
	=		=
(2n − 1)!   2n!		(2n+2)!*(2n−1)!

	(2n+1)*2n!*2n!		2n!
		=		=
	(2n+2)(2n+1)*2n!*(2n−1)!		(2n+2)(2n−1)!

2n(2n−1)!		2n
	=		< 1
(2n+2)(2n−1)!		2n+2

q < 1 czyli jest to ciąg malejący Dobrze?

Godzio: To nie jest zwykła silnia: (2n)! ! = 2 * 4 * ... * 2n (2n − 1)! ! = 1 * 3 * ... * (2n − 1) Ale robi się to równie standardowo:

an+1		2n + 1		1
	=		= 1 −		< 1 −− malejący
an		2n + 2		2n + 2

+-: 2*4*6*...*2n=2ⁿ*n!

	(2n)!
1*3*5*...*(2n−1)=
	2n*n!

	1*3*5*...*(2n−1)		(2n)!
an =		=
	2*4*6*...*2n		22n*n!*n!

Mila: Zauważ, że:

	2(n+1)−1		2n+1
an+1=an*		=an*
	2(n+1)		2n+2

an+1		2n+1
	=		<1 [ 2n+1<2n+2, n∊N+}
an		2n+2

Mila: Idę lepić pierogi z grzybkami. Wpadnę tu później.

asdf: Nie bardzo rozumiem, spróbuję to zrobić tak:

	1*3*5*7*...*(2n−1)
an =
	2*4*6*...*(2n)

	1*3*5*7*...*(2(n+1)−1)
an+1 =		=
	2*4*6*...*(2(n+1))

1*3*5*7*...*(2n+1)
2*4*6*...*(2n+2))

jak jest to ciąg geometryczny to dzielę n+1/n, pierw sobie rozpiszę: a_n+1 = a_n * q, czyli:

	1*3*5*7*...*(2n−1)*(2n+1)
an+1 =
	2*4*6*...*2n*(2n+2))

	1*3*5*7*...*(2n−1)
an =
	2*4*6*...*(2n)

	(2n−1)
to jak podzielę n+1/n zostanie mi tylko q =		i to jest < 1.
	(2n+2)

Jeszcze nie do końca rozumiem te wyznaczanie a_n+1 z a_n. Podam kilka przykładów:

	1		1		1		1
an =		+		+		+ ... + ..
	2 + 1		4 + 2		8 + 6		2n + n!

jest to ciąg arytmetyczny, więc szukam różnicy:

	1		1		1		1
an+1 =		+		+ ..		+
	2 + 1		4 + 2		2n + n!		2n+1 + (n+1)!

w takim razie a_n+1 − a_n =

1		1		1		1
	+		+ ..		+		−
2 + 1		4 + 2		2n + n!		2n+1 + (n+1)!

1		1		1		1
	+		+		+ ... + ..		=
2 + 1		4 + 2		8 + 6		2n + n!

różnica:

1
2n+1 + (n+1)!

inny przykład:

	3		9		3n
an =		+		+ ...
	4 + 1		16 + 1		4n + 1

	3		9		3n		3n+1
an+1 =		+		+ ...+		+
	4 + 1		16 + 1		4n + 1		4n+1 + 1

dobrze wyznaczony a_n+1? I czy jest to ciąg arytmetyczny, czy geometryczny?

Mila: Asdf, skup się. To nie jest c.g. ( iloraz ciągu g., różnica c.a ma być niezależne od n) popatrz na a_n i a_n+1, to zrozumiesz co napisałam. Pięknie to rozpisałeś na czerwono, jak mnożymy ułamek przez ułamek? Uzasadniasz, że to ciąg monotoniczny .(takie było polecenie?) Granicy na razie nie obliczysz.( W II semestrze będziesz już umiał) Uwagi do 12:01

2n+1
	<1 i wyrazy ciągu są dodatnie⇒ciąg jest malejący
2n+2

asdf: Dzięki, tylko dlaczego nagle się zgubiła silnia? (u siebie też dopiero to zauważyłem). Dlaczego również się robi takie coś, że dzieli a_n+1/a_n skoro to nie jest ani ciąg geom (i szczególnie arytm)? W jakich przypadkach się odejmuje, w jakich dzieli? I mogłabyś sprawdzić czy dobrze wyznaczyłem ( w tych dwoch przykladach) a_n+1? Nie potrafię rozpoznać tej różnicy W szkole średniej mieliśmy proste wzorki i koniec, tu nagle jakieś giganty Jakbyś mogła mnie naprowadzić byłbym szczęśliwy, bo nie chce zawalić matmy.

Mila: Dzielenie albo odejmowanie dla badania monotoniczności w zależności co łatwiejsze ( na ogół). Dzielenie, jeśli każą Ci badać czy c.g. Odejmowanie, gdy każą Ci badać czy ciąg arytmetyczny. Nigdzie silnia się nie zgubiła, bo skorzystałeś z pierwszej postaci ( już rozpisanej, przykład z 22XII).

asdf: Właśnie "dzielenie, jeśil każą Ci badać czy c.g. odejmowanie − gdy arytm" A jak to zauważyć jeżeli napiszą tylko tak jak mam w poleceniu "Wykazac, ze ciag a_n = U{1*3*5* ...* (2n−1)}{2*4*6*...*(2n)} jest malejący" To co w takim przypadku? Mogę sobie wziąć odejmowanie albo dzielenie? Mam też takie zadanie "Sformulowac Tw. o ciagu monotonicznym i ogarniczonym" brzmi ono tak? 1. Ciag jest nie malejacy, ograniczony z gory ⇒ ciag jest zbiezny" oraz 2. ciag jest nierosnacy, ograniczony z dolu ⇒ ciag jest zbiezny" Czy jakos inaczej przedstawione to jest?

asdf: Nie rozumiem..ostatniego zdania z Twojego postu "juz rozpisanej, przyklad z 22XII", tu jest od 23 grudnia wszystko..mogłabyś podać godzinę postu?

Mila: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Ci%C4%85gi_liczbowe Twierdzenie4.15 z animacją.

Mila: Pierwszy przykład z 23.godzina 2:34. Czytaj analizę, teraz znikam do gołąbków.

asdf: Dziękuję za wykład, postaram się go ogarnąc

asdf:

	1		1		1		1
an =		+		+		+ ... +
	2 + 1!		22 + 2!		23 + 3!		2n + n!

	1		1		1		1		1
an+1=		+		+		+...+		+
	2+1!		22+2!		23+3!		2n+n!		2n+1+(n+1)!

Dobrze określone a_n+1 To nie jest ani ciąg geometryczny...ani monotoniczny.

	1
an+1 − an =		, dobrze?
	2n+1 +(n+1)!

Godzio: Czemu nie jest monotoniczny ? Jest rosnący przecież

asdf: sorki, ani geom, ani arytm. (nie da sie skupic...swięta idą) dobrze wyznaczone mam a_n+1 oraz a_n? A masz może chwilę czasu, żeby mi to bardziej wyjaśnić przez join.me? Rozumiem, że idą Święta i lepiej odpocząć, a poza tym każdy ma swoje obowiązki. Ale jakbyś mógł znaleźć tą chwilę byś mi naprawdę pomógł...nie długo.

asdf: Sprawdzić czy ciąg jest monotoniczny i ograniczony:

	n
an =
	2n

	n+1
an+1 =
	2*2n

	2n		−n+1
an+1 − an = n+12*2n −		=		, wynika, że jest to ciąg malejący
	2*2n		2*2n

(< 0) Jak sprawdzić czym jest ograniczony?

n		n
	<
2n		2

n
	jest = 0, czyli ciąg jest ograniczony zerem?
2

Godzio: 2ⁿ > n, n ≥ 1

n		n
	<		= 1
2n		n

asdf: a dlaczego tylko 2ⁿ > n?, a nie:

2n
	> n?
n

wtedy:

n		1
	<
2n		n

i ograniczony zerem. Czemu nie mogę tak zrobic?

Godzio: To nie jest ograniczenie, np n = 1 wychodzi

asdf:

	n
ale tam jest		< ...i to właśnie co?
	2n

a ty dałeś tylko 2ⁿ > n. Spróbuję to zrozumieć:

	1
2n > n . logiczne..teraz mnożysz *		(dodatnie)
	n

2n		n
	>		/ odwracam:
n		n

n		n
	<		= 1
2n		n

koniec?

Godzio: Tak

asdf: a to jak zrobić: Oblicz granice ciagów: sin√n+1 − sin√n

Godzio: Tylko ja ograniczam samo 2ⁿ

	1		1
2n > n ⇒		<
	2n		n

n		1		1
	= n *		< n *		= 1
2n		2n		n

Tylko większość się robi w pamięci

Godzio: Wzór na różnicę sinusów, a dalej działasz standardowo

asdf: nie bardzo rozumiem, ograniczasz samo 2ⁿ, a co to daje?

Godzio: Może nie patrz na mnie, po prostu rób tak, żebyś Ty rozumiał, ale tym sposobem co pokazałem

	2n
Tak samo jak masz
	n2

2ⁿ ≥ n² dla n ≥ 4

	n2
Więc		≤ 1 dla n ≥ 4, pozostałe wyrazy sprawdzamy ręcznie:
	2n

	1
n = 1 ⇒
	2

n = 2 ⇒ 1

	9		1
n = 3 ⇒		= 1		−− ograniczenie górne
	8		8

asdf:

	(√n+1 − √n)		√n+1 + √n
lim sin√n+1 − sin√n = 2 * sin		* cos (		) =
	2		2

	n+1 − n   √n+1 + √n		1
liczę sin:		= lim sin(		= 0
	2		2(√n+1 + √n)

dalej muszę liczyć cosinusa? granica wyjdzie 0?

Godzio: Teoretycznie nie, ale praktycznie: − sinx ≤ cos(...) * sinx ≤ sinx sinx → 0, więc z tw. o trzech ciągach cos(...) * sinx → 0

asdf: a jak mam takie coś:

	2n
an =
	n!

	2*2n
an+1 =
	(n+1)n!

an+1		2*2n   (n+1)n!		2*2n*n!		2
	=		=		=		< 1
an		2n     n!		(n+1)n!*2n		n+1

czyli ciąg jest malejący?

Godzio: Od pewnego miejsca

asdf: czyli nie rosnący?

asdf:

2n
	ograniczyć to można w taki sposób:
n!

	1
2n < n! *		(dodatnie nie zmieniam znaku)
	n!

2n		n!
	<
n!		n!

ciąg jest ograniczony z dołu jedynką?

Godzio: asdf jeżeli chcesz znaleźć ograniczenie, to napisz kilka wyrazów, nie rób schematycznie bo do niczego nie dojdziesz, 1. Wypisz 3 − 4 wyrazy, zauważ co się dzieje 2. Policz różnicę / iloraz kolejnych wyrazów i określ czy przypuszczenie w 1 pkt okazało się prawdziwe 3. Znajdź ograniczenie mając wiadomości z 1 i 2

asdf: a₁ = 2 a₂ = 2 a₃ = 8/6 a₄ = 16/24 a₅ = 32/120 2ⁿ < n! dla n ≥ 4 I jeżeli dowiodłem, że jest to ciąg nierosnący to ma ograniczenie z dołu... tylko jak to teraz ograniczyć..wiadome, że będzie to zero, tylko jakim sposobem?

Godzio: Policzyć granicę ?

asdf: a trudno to policzyć? bo jak łatwo to prosze o wskazowke.

asdf: a można tak po prostu wywnioskować, że: 2ⁿ < n!

	2n
n ∊ N, więc		→ 0?
	n!

Godzio: n! ≥ 3ⁿ dla n ≥

	2n		2n
0 <		≤		→ 0
	n!		3n

asdf: dla n ≥ 7

Godzio: Uciekam sobie pograć Jak coś będę wieczorkiem pewno

asdf: ok dzieki

asdf: Ok, a to?:

	1		1		1		1
an =		+		+		+ ..
	2+1!		22 + 2!		23 + 3!		2n + n!

	1
a1 =
	2

	1		1		2
a2 =		+		=
	2		6		3

	2		1		2		1		31
a3 =		+		=		+		=
	3		8+6		3		14		42

	31		1		31		1		16		32
a4 =		+		=		+		=		=		..
	42		16 + 24		42		40		21		42

a_n+1 =

1		1		1		1		1
	+		+		+..+		+
2+1!		22+2!		23+3!		2n+n!		2n+1 + (n+1)n!

	1
an+1 − an =
	2n+1 + (n+1)n!

dobrze?

asdf:

1		1		1		1		1		1		1		1
	+		+		+..		≤		+		+		+..+
2+1!		22+2!		23+3!		2n+n!		2		22		23		2n

Ograniczony z góry jest suma ciągu geom.

	1		1		1
Sn =		* U{1 − (		)n}}{		} = 1
	2		2		2

Ciąg jest zbieżny do jedynki, dobrze?

asdf: ?

Godzio: Czy jest zbieżny to nie wiemy, ale że jest przez nią ograniczony, to już tak

asdf: a dobrze ejst wyzanczony a_n+1?

Godzio: Tak

asdf: Sformułować Tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym i wykazać na podstawie tego twierdzenia zbieżność ciągu:

	2		22		2n
an =		+		+ ... +
	3+1		32 + 1		3n+1

	1
a1 =
	2

	1		4
a2 =		+
	2		10

	83
a3 =
	70

wyznaczam a_n+1

2		22		2n		2*2n
	+		+ ... +		+
3+1		32 + 1		3n+1		3*3n+1

	2*2n
różnica to:		......jest rosnący
	3*3n + 1

2		22		2n
	+		+ ... +		< od czego? na pewno nie od jedynki
3+1		32 + 1		3n+1

Godzio: Dalej widzę, że zbyt mechanicznie to robisz ... Zero myślenia w tych rozwiązaniach,

	1		1
3n + 1 > 3n ⇒		<
	3n + 1		3n

	2		2
... <		+ ... + (		)n
	3		3

A wyrazy ciągu wyznaczaj w takich przykładach gdzie ciężko określić czy rośnie czy maleje, nie wszędzie musisz to robić

asdf: Mógłbyś mi to wytłumaczyć na join.me? siedzę nad tym już cały dzień i nic nie zrozumiałem..jedynie potrafię policzyć jakieś tam granice, to już mi nie wychodzi

Godzio: Ale czego nie rozumiesz konkretnie ?

asdf: jak masz chwile to wbij: https://secure.join.me/432-060-187

Mila: Asdf, te ostatnie przykłady są trudne, łatwiejsze przecież robisz dobrze. W końcu masz je zrobione. Ostatnie przykłady na wykazanie zbieżności na podstawie monotoniczności i ograniczoności. malejący (rosnący) i ograniczony ( narysuj przykład, jak miałeś na animacji), zwracasz uwagę, czy wyrazy dodatnie , czy ujemne ( na ogół są dodatnie). Chyba polecili wam jakiś zbiór zadań, trzymaj się tego. Zobacz kolokwia u Skoczylasa. Tam są zadania, które na pewno zrobisz.

asdf: Właśnie w tym jest problem, że wykładowca bardzo się śpieszył i zapomniał podać nam książki z jakiej możemy korzystac...Masz może jakiś pomysł?

Mila: Moja opinia, na uczelniach pracuje towarzystwo wzajemnej adoracji,literaturę podaje sie na pierwszych zajęciach. Nie moge, Ci nic doradzić, nie jestem na bieżąco z programem studiów. Korzystam z Analizy Krysickiego, ale tam nie ma pewnych zagadnień. Bardziej nowoczesna jest Analiza i Zbiory zadań Skoczylasa i Jurlewicz.( zagadnienia są ładnie wyjaśnione i jesli zrobisz to, co tam jest to zaliczysz matematykę na pewno.) "Złap" Std−call", jest na bieżąco.

asdf: możesz spojrzeć czy to jest to?: http://chomikuj.pl/daromistrzu/Ksi*c4*85*c5*bcki+i+inne+materia*c5*82y+do+nauki/Matematyka*2c+Algebra*2c+Metody+numeryczne*2c+Statystyka/Analiza+Matematyczna+1+-+Przyk*c5*82ady+i+zadania,276007112.pdf

asdf: Chodzi mi o tytuł i czy autorów dobrych znalazłem.

asdf: Przy okazji, czy mam dobrze to policzone:

	4n − 3n
n√
	4n + 5n

	4n		4n − 3n		2*4n
n√		≤n√		≤ n√
	2*5n		4n + 5n		5n

Nie brałem pod uwagę −3ⁿ bo to jest ujemne.

Mila: Tak.

asdf: Chodzi o książkę czy o zadanie?

asdf: znalazłem też taką: http://chomikuj.pl/Nathanielxd/Studia/Ksi*c4*85*c5*bcki/Matematyka/Gewert.Skoczylas.-.Analiza.Matematyczna.1.Przyklady.I.Zadania,398303651.pdf i to chyba ta będzie?

Mila: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28%284^n-3^n%29%2F%284^n%2B5^n%29%29^%281%2Fn%29+as+n+to+inf

Mila: Ja mam tę drugą.

asdf: Właśnie ją ściągnąłem. Dobra jest i zadania nie są aż tak ciężkie (przecież nie chodzi o to, żebym miał z matematyki 5...) Dzięki! Posiedzę do 5 i przerobie cały dział

Godzio: 4ⁿ ≤ 4ⁿ − 3ⁿ ? Tak nie możesz lewej strony ograniczyć

Mila: Chodziło o książkę, na drugie Godzio odpowiedział.

Mila: Prezent dla asdf − jak zrobisz to będzie piątka z kolokwium. http://www-users.mat.umk.pl/~mozgun/pliki/paczka.pdf

asdf: Dzięki, pierw skończę Skoczylasa, pozniej zrobie tą

4n − 3n		4n − 3n		2*4n
	≤		≤
2*5n		4n + 5n		5n

a tak mogę ograniczyć?

Godzio:

	3		3		1
4n − 3n = 4n(1 − (		)n) ≥ 4n(1 −		) = 4n *
	4		4		4

asdf: to dobrze ograniczyłem?

Godzio: Ty źle, nasze opcje nieco się różnią Ja już uciekam, pora przygotowywać się do świętowania Też sobie odpocznij,

asdf: Jeszcze troche i sobie odpoczne To jak to ograniczyć?

Godzio: Napisałem, prawa jest ok

asdf:

	2*4n
4n−3n ≤ an ≤		?
	5n

asdf: chyba nie

Godzio: Napisałem Ci jak ograniczyć LEWĄ STRONĘ, prawą miałeś ok !

asdf: nie pisze pierwiastkow już.

4n−1		4n − 3n		2*4n
	≤		≤
5n+5n		4n+5n		5n

Czemu tak nie mogę ograniczyć?

asdf: n^1/n (pierwiastek n−tego stopnia) = 1 n^1/n2 (pierwiastek n−tego stopnia do kwadratu) = też 1 tak? a takie coś jak ograniczyć? (n+1)^1/n2 = 1?

asdf: jeszcze mam taki przykład:

	1		2		n
n√		+		+ ... +
	2		3		n+1

jak chcę go ograniczyć, to: ⁿ√n+1> ⁿ√n

	1		1
n√		< n√
	n+1		n

	n		n
n√		< n√
	n+1		n

	n
n√		< n√1
	n+1

	1
a dół jak ograniczyć, po prostu n√		? (tutaj strzelam)
	2

	1		1		2		n
n√		≤ n√		+		+ ... +		≤ n√1 + 1 + 1 + ...+1
	2		2		3		n+1

	1		1		2		n
n√		≤ n√		+		+ ... +		≤ n√n
	2		2		3		n+1

Maslanek:

	1
Dół przez: n√n*
	2

	n
Góra przez: n√n*		.
	n+1

Byłoby chyba ok? Bo zarówno jedna jak i druga granica do 1.

asdf: nom A jak ograniczyć "problem" z 15⁴⁵ ..?