granica hej: zatrzymałem się przy tym. kto pomoże?

	−1+cos2x
limx→0
	3x2

krzysiek: może warto będzie rozpisać cos2x wg wzoru

hej: mówisz o tym wzorze? cos2x = cos²x − sin²x

hej: to mi dało:

	−1+(cos2x−sin2x)
limx→0
	3x2

krzysiek: zaraz do tego siądę i spróbuje rozwiązać znasz de l'Hospitala? bo tym sposobem to jest od ręki do zrobienia masz symbol nieoznaczony [0/0] więc możesz ją zastosować, liczysz osobno pochodną licznika, pózniej pochodną mianownika, rozpisujesz sin2x w liczniku, dostajesz w liczniku jako jeden element sinx a w mianowniku będzie 6x więc możesz wykorzystać wzór sinx/x = 1

hej: ja wgl mam taką granice..

	1
limx→0(cos2x) do potęgi {		}
	3x2

i zrobiłem to tak

	1
limx→0(1−1+cos2x) do potęgi {		}
	3x2

	1		−1+cos2x
limx→0(1+U{1}{1/−1+cos2x) do potęgi {		} i to do potęgi
	−1+cos2x		3x2

i teraz mam literke e i została mi tylko ta górna potęga do obliczenia.. dobrze to robie?

hej: i ma wyjść e^−2/3.. więc nie może wyjść 1

krzysiek: z tego co widzę to dobrze to masz rozpisane, czyli zostaje policzenie granicy tej potęgi, ten Hospital był? bo to dość mocno uprości obliczenie granicy, jak nie było to trzeba troche się pobawić wzorami, właśnie zaczynam to rozpisywać

krzysiek: jak liczę Hospitalem to to granica tej potęgi wychodzi mi −2/3

hej: spróbuje hospitalem.. ale jeszcze tego nie miałem..

krzysiek: dobra mam, więc tak, cos2x = 2cos²x−1 czyli w naszym przypadku w liczniku będzie: 2cos2x−1 − 1 = 2cos²x−2 = 2(cos² − 1) = −2(1−cos²x) = −2sin²x teraz podstawiam to do tej granicy:

	−2sin2x
lim		= −2/3
	3x2

x−>0 czyli rozwiązaniem całej granicy jest e^−2/3

krzysiek: więc zostaw hospitala na później w moim przypadku było tak, że na kolokwiach nie mogliśmy Hospitalem rozwiązywać granicy tylko właśnie w taki 'tradycyjny' sposób

hej:

−1+cos2x		(−1)' + (cos2x)'		0−sin2x * (2x)'
	=		=		=
3x2		(3x2)'		3*(x2)'

	−sin2x*[2*(x)']		−sin2x*[2*1]		−sin4x
		=		=
	3*2x		6x		6x

hej: kórde to pewnie u mnie też tak będzie ale ja niewiem skąd te wzory.. bo ciągle jakieś inne.. wydrukowałem sobie wszystkie z tego forum a i tak tego wzoru co mi podaeś to nie mam tutaj..

krzysiek: błąd tylko w ostatnim kroku powinno być −2sin2x / 6 a wtedy wystarczy rozpisać wzór na sin2x i gotowe

krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne#Podstawowe_to.C5.BCsamo.C5.9Bci_trygonometryczne ja tutaj zerknąłem dla upewnienia się jaki jest ten wzór cos2x można rozpisać na kilka sposobów i to dlatego taka różnica bo cos²x − sin²x = cos²x − (1−cos²x) = cos²x−1+cos²x = 2cos²x − 1

hej: a jak się to rozpisuje?

krzysiek: w ostatnim kroku w granicy mam sin²x / x² = 1 tak dla formalności dlatego zostało mi −2/3

krzysiek: jeżeli chodzi o ten sin2x to http://upload.wikimedia.org/math/6/2/c/62cd18487f50f09080af9bfbe2ea2dbb.png

krzysiek: więc tak może warto to zebrać w całość: albo z rozpisywania, albo Hospital, pomijam obliczenie e, bo to jest dobrze zrobione i zostaje ta potęga: 1) Hospital:

	cos2x−1		−2*2sinx*cosx		−4cosx
lim x−>0		= lim x−>0 −2sin2x6x =		=		=
	3x2		6x		6

−4/6 = −2/3 2) rozpisywanie:

	cos2x−1		2cos2x−1 − 1		2cos2x−2
lim x−>0		=lim x−>0		= lim x−>0		= lim
	3x2		3x2		3x2

	2(cos2 − 1)		−2(1−cos2x)		−2sin2x
x−>0		= lim x−>0		= lim x−>0		=
	3x2		3x2		3x2

	−2
	3

hej: w regule Hospitala w gdy sinus mnożymy przez cosinus to ten sinus znika bo łączy się z tym x w mianowniku stojącym przy szóstce? czyli z tego wychodzi 1?

hej: a dlaczego cosx znika i zostaje sama −4?

hej: bo cos z zera to jest jeden?

krzysiek: dokładnie tak

krzysiek: wszystko się zgadza z tym co piszesz

hej: dzięki krzysiu bardzo pomogłeś w zrozumieniu

hej:

	1
mam też problem z tym dlaczego granice limx→0cos		nie istnieje?
	x

krzysiek: nie ma za co

hej:

	1
jest
	0

krzysiek: ponieważ cos jest funkcją trygonometryczną, jak popatrzymy na wykres to raz osiąga wartość jeden a raz −1 no i oczywiście wartości pomiędzy −1 i 1, dlatego nie wiemy jaki jest cos ∞ // bo 1/x , gdzie x−>0 to ∞

hej: aha czyli nie ma dokładnie określonej granicy!

krzysiek: tak samo granica sin x przy x−>0 nie istnieje, jako dowód możesz zerknąć tutaj: http://www.etrapez.pl/blog/granice/granice-funkcji/sinx-x-do-nieskonczonosci/

krzysiek: zgadza się

hej: jesteś jeszcze?

krzysiek: jestem

hej: doszedłem do takiego limesa i niewiem jak to teraz rozpisać by wyszło 32

	sin24x*cos2x2
limx→0
	sin2x2*(1+cos4x)

hej:

sin 4x * sin 4x * cosx2 * cosx2
sinx2 * sinx2 (1+cos 4x)

krzysiek: znowu wróciłem, zaraz zobacze

krzysiek: już robię skana

krzysiek: http://oi46.tinypic.com/24yw7yd.jpg musisz podzielić i pomnożyć (bo mnożenie przez coś i podzielenie od razu nie zmienia wyniku, bo jest równe 1) każdego sinusa przez takie wyrażenie jakie jest argumentem tej funkcji