.. asdf: Jak udowodnić tą granicę? log_n+15 = 0? Robię to tak: | log_n+15 | < ∊ opuszczam nawiasy bo log_n+15 będzie zawsze dodatnie (n > 0, czyli nawet dziedzina się zgadza) log_n+1 5 < ∊

1
	< ∊
log5(n+1)

	1
log5(n+1) >
	∊

log₅(n+1) > log₅5^1/∊ n+1 > 5^1/∊ n > 5^1/∊ − 1 Dobrze? Jeżeli epsilon będzie coraz większy to pierwiastek pierwiastek "epsilontego?" stopnia z pięciu będzie coraz mniejszy − 1 no i jeszcze −1...ale to chyba nie zma znaczenia. Obliczyłem też to: układ wsp (całość z x):

	E(x), x = 51/∊ − 1 ≥ 1,
n0 =
	1 , 51/∊ − 1 < 1

5^1/∊ − 1 < 1 5^1/∊ < 2 log₅5^1/∊ < log₅25 U{1]{∊} < 25

	1
∊ >
	25

	1
ODP: Dla ∊ większego od wartości		każdy wyraz ciągu będzie znajdować się w pasku
	25

epsilonowym. Dobrze? P.S Głównie chodzi mi o to, czy dobrze udowodniłem granicę ciagu log_n+15 = 0.

Artur_z_miasta_Neptuna: Nie wiem jaką masz taktykę udowodnienia ... ale jak dla mnie ten dowód pokazuje tylko jedno że dla dostatecznie dużego ε wszystkie wyrazy będą się mieścić .... fajne − tylko po co nam to np. dla a_n = (−1)ⁿ mamy, że dla ε>1 wszystkie wyrazy ciągu mieszczą się w oknie (−ε,ε) ... czy to oznacza, że a_n posiada granicę w 0

Artur_z_miasta_Neptuna: Reasumując − jak dla mnie dowód (pomimo że przekształcenia dobrze zrobione) jest do kosza

asdf: To w jaki sposób to udowodnić?

asdf: jak pisalem − nie chodzi mi o to, zeby pokazac od jakiego epsilona wszystkie sie mieszcza, tylko czy udowodnieniem jest to: n > 5^1/∊ − 1 Bo według mnie jest to dobrze − jaki nie wezme epsilon to znajde takie n₀ > n, ze wszystkie kolejne liczby beda w pasku epsilonowym (n > 5^1/∊ − 1) ?

Artur_z_miasta_Neptuna: konstrukcja dowodu jest następująca 1) wybieram ε>0 2) niech n = ..... <−−− i tu wstawiasz to co wyznaczyłeś ... oczywiście nie nierówność ... pamiętaj, ze n∊N₊ 3) przekształcenia, które zrobiłeś

	1
do momentu		... tu podstawiasz n z punktu (2) i wykazujesz że to będzie ≥ ε
	log5(n+1)

asdf: Tylko jak można to wykazać? bo nie mozna sobie dobierać liczb tylko na podstawie wzoru/wyprowadzenia mam to udowodnić

asdf: Ja koło 20 wejdę, na razie.

Artur_z_miasta_Neptuna: ale do tego to się sprowadza dowód wybieramy ε>0 <−−− czyli określamy, że ε przyjmuje 'jakąś tam' wartość niech N = [5^1/ε +1] − 1

	1		1
|an| = |logn+1 5| = logn+15 =		<		=
	log5(n+1)		log5(N+1)

	1		1
=		=		< U{1}{log5(51/ε) =
	log5([51/ε +1])		log5([51/ε] +1)

	1
=		= ε
	1   ε

czyli dla dowolnego ε, jeżeli N dobierzesz w taki sposób, to masz pewność, że n>N będą znajdować się w 'oknie' (−ε ; ε)

b.: pierwsza połowa dowodu asdf jest w zasadzie w porządku: można by dopisać na początku, że ustalasz dow. ε>0, wtedy przekształcasz równoważnie, i na koniec otrzymujesz, że dla n > 5^1/ε − 1 wyrazy ciągu są w przedziale (−ε, ε). Koniec. Później wyznaczasz n₀. No niech będzie, to też jest ok. Później sprawdzasz, kiedy za n₀ bierzesz E(x), a kiedy po prostu 1 −− to też jest dobrze. Zła jest dopiero ,,ODP.''. Jest tak zła i sprawia tak złe wrażenie na temat Twojego (nie)zrozumienia, że Artur wyrzuciłby całe rozwiązanie do kosza −− i możliwe, że sprawdzający takie rozwiązanie również oceniłby je na zero popatrz jeszcze raz na swoje rozwiązanie i zobacz, czego dotyczy końcowa nierówność ε > 1/25... Proponowałbym pisać więcej komentarzy, konkretnie zanim zaczniesz coś przekształcać, napisz co robisz / po co. To pomaga nie tylko sprawdzającemu, ale też może pomóc Tobie. Np. tutaj po napisaniu definicji n₀ mogłeś napisać: ,,Teraz sprawdzę, kiedy 5^1/∊ − 1 < 1, żeby uprościć definicję n₀'' (tak naprawdę nie musisz jej wcale upraszczać...). Wtedy po otrzymaniu ε > 1/25 łatwiej byłoby się zorientować, czego to dotyczy.

asdf:

	1
Ja patrzę na to w ten sposób, że dla ∊ >		każdy wyraz ciągu będzie znajdować się w
	25

pasku epsilonowym − to jest źle? Ponieważ E[x] przyjmuje wartości mniejsze od 1, a z definicji granicy wyrazy ciągu (a₁,a₂,a₃) są liczbami naturalnymi. To jest źle?

asdf:

Artur_z_miasta_Neptuna: ale co nam to daje patrz mój wpis z 7:55

MQ: A po co bierzecie okno (−ε,ε) skoro ponieważ 5>1 to ∀n log_n+15>0 Wystarczy pokazać, że dla dowolnie małego ε>0 istnieje takie N, że dla wszystkich n>N log_n+15<ε

asdf: Artur, wiec w jaki sposob udowodnic ta granice? Nam wykladowca kazal korzystac z tego wzoru: |a_n − g| < ∊ A wzór na granicę rozumiem tak:

	∧		∨
an = g				[ n0>n ⇒ limn→∞=g |an − g| < ε ]
	n∊N		ε>0

I czytam to tak: Dla każdego n należącego do licz naturalnych istnieje dowolnie duzy epsilon, ze n₀ > n (wskaźniki ciągu) to każdy wskaźnik większy od n znajduje się w pasku epsilonowym. Czyli dla dowolnego epsilona znajde takie n₀, ze kazdy kolejny bedzie w obszarze paska epsilonowego. Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć na przykładzie pierwszego postu?

asdf: pomożecie?:((

Trivial: Hej asdf.

asdf: Hej, pomozesz?

Trivial: Wzór który napisałeś jest niepoprawny, w szczególności: a_n = g ← a_n jest stałe? lim_n→∞ = g ← brakuje lim(czego) n₀ > n ← powinno być chyba dla każdego n > n₀, a nie na odwrót Reasumując: lim_n→∞ a_n = g ⇔ ∀ε>0 ∃n₀∊N: (n > n₀) ⇒ (|a_n−g| < ε)

Trivial: Czyli pisząc słownie: Zapis lim_n→∞ a_n = g oznacza, że dla każdego, dowolnie małego ε>0 istnieje pewna liczba n₀, taka że wszystkie wyrazy ciągu zaczynając od a_n0 są oddalone mniej niż dany ε od wartości granicy g.

asdf: no tak, a jak to ma się do tego przykładu?

Trivial: Sprawdzamy definicję. Chcemy udowodnić, że dla dowolnego ε>0 zachodzi |log_n+15 − 0| < ε od pewnego n. Przekształcamy wyrażenie do postaci n > f(ε). log_n+15 < ε / (n+1)^x 5 < (n+1)^ε / ^1/ε 5{1/ε} < n+1 n > 5{1/ε} − 1 Udało się. Zatem wystarczy wybrać n₀ jako liczbę naturalną większą od 5{1/ε} − 1. Koniec.

Trivial: zamiast 5{1/ε} powinno być oczywiście 5^1/ε

asdf: no tak, czyli podstawiam epsilon, np: 1/2, wtedy: n₀ > 5² − 1 n₀ > 24 i kazdy kolejny wyraz ciagu od a₂₄ będzie znajdowac sie w pasku epsilonowym tak?

Trivial: Dlaczego podstawiasz ε? To ma działać dla każdego ε>0. Ale pomijając to − tak.

asdf: To już koniec w takim razie?

Trivial: No tak. Napisałem przecież że koniec. Możesz najwyżej podać konkretny wzór na n₀ w zależności od ε, ale to trochę nieistotne − liczy się sam fakt, że wyrażenie da się przedstawić w postaci: n > f(ε).

asdf: tak myslalem, masz moze chwile na join.me? bo mam problem z monotonicznoscia ciagu

Trivial: Chwilę mam. jakieś 30 min.

asdf: https://secure.join.me/842-068-804