funkcja hubert :

	8x
Funkcja f określona jest wzorem f(x ) =
	x2+1

Wykaż (z definicji), że funkcja f w przedziale (1;+ ∞ ) jest malejąca. proszę o waszą pomoc

123: f(1) < f(2)

hubert : możesz mi właśnie powiedzieć dlaczego się tak robi tzn f(1) < f(2) albo f(x₁)−f(x₂)

hubert :

Artur_z_miasta_Neptuna: bo tak brzmi definicja: ∀_{x1,x2∊(a,b)} x₁<x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) to jest definicja funkcji malejącej na przedziale (a,b)

ja: z Def masz, że funkcja jest malejąca gdy : f(x+1)<f(x) czyli f(x+1)−f(x)<0 i jedziesz Df x∊(1,+∞)

8*(x+1)
	− U{8x}{x2 +1) <0
(x+1)2 +1

8x+8		8x
	−		<0
x2+2x+1		x2 +1+1

(8x+8)(x2 +1)− 8x(x2 +2x+2)
(x2 + 2x +2)(x2+1)

ten ułamek będzie mniejszy od zera kiedy licznik będzie ujemny a mianownik dodatni albo odwrotnie. Sprawdzam najpierw mianownik x⁺2x+2=0 Δ= 4−4=0

	−2
x0=		= −1 nie nalezy do dzieddziny. funkcja rosnąca a więc cala funkcja dodatnia w Df
	2

x²+1> 0 dla x∊R Więc mianownik na pewno masz dodatni więc sprawdzasz licznik (8x+8)(x² +1)− 8x(x²+2x+2) <0 8x³+8x+8x² +8−(8x³+16x²+16x)<0 8x²+8−16x²−16x<0 −8x²−8x+8<0/:8 −x²−x+1<0 Δ= 1+4=5

	1−√5		1		√5
x1=		= −		+		<1 czyli nie należy do df
	−2		2		2

	1+√5		1
x2=		= −		− U{{p5}{2}<1 czyli nie należy do df.
	−2		2

funkcja jest malejąca (−x²) i miejsca zerowe nie znajdują sięw df(1,+∞) czyli cała znajduję się pod wykresem czyli jest malejąca

ja: sory tam jest bład w 2 nierówności w mianownikach w 1 powinno być x²+2x+2 a w drugim x²+1 ale dalej chyba jest ok

Artur_z_miasta_Neptuna: ja byłbym ostrożny z pisaniem takiej wersji f(x+1)<f(x) ⇒ f(x) jest malejąca jest to prawdą gdy ... f(x) jest funkcją ciągłą na badanym przedziale (a to lubią ludzie pomijać)

Artur_z_miasta_Neptuna: nie wspominając już o np. f(x) = −x² .. w przedziale (−1;+∞) też by wyszła 'malejąca'

Artur_z_miasta_Neptuna: sorki ... przedział: (−¹/₂ ; + ∞)

ja: No masz rację powinienem raczej spojrzeć na to że leży na prawo od miejsc zerowych i jest skierowana w dól. Nie mniej jednak to nie zmienia rachunków

Artur_z_miasta_Neptuna: poza tym ... miał udowodnić 'z definicji' a definicja niestety wygląda tak jak podałem i nie można sobie jej 'ułatwić' ...bo wtedy już nie jest to 'z definicji' (przynajmniej dla moich dawnych wykładowców)

Artur_z_miasta_Neptuna: sam pomysł bardzo fajny ... ale niestety ... zwrot 'z definicji' wszystko psuje

ja: no dobra ale mamy dziedzinę D x∊(1,+∞) czyli jeżeli x∊D to (x+1)∊D czyli wydaję mi się, że w takiej sytuacji gdy przedział jest prawostronnie nieograniczony spokojnie mogę to wyliczyć w ten sposób podpinając to pod def.

Artur_z_miasta_Neptuna: nie ... patrz f(x) = −x² i D_f=(−1/2,+∞) albo, żeby miejsc zerowych nie było ... f(x) = −x² − 1

Artur_z_miasta_Neptuna: wszystko będzie działało dla odcinka od x+1 'w prawo' ale na odcinku (x; x+1) funkcja może się okazać rosnąca, a Tobie wyjdzie fałszywie, że jest malejąca

Artur_z_miasta_Neptuna: czyli na przedziale (1,2) ... lub w moim przykładzie (−1/2,1/2)

ja: dobra masz rację

hubert : dzieki