Dariusz: Witam.. Otoz mam kilka hardcorowych zadan do rozwiazania, a dokladniej potrzebuje pewien schemat i zarys rozwiazywania takich zadan... zadania sa z roznych dzialow, ale upchne je w jeden temat 1) Rozstrzygnij, czy kazda liczbe wymierna dodatnia mozna przedstawic w postaci : a² + b³ / c⁵ + d⁷ ...? 2) Wielomian P(x) o wspolczynnikach calkowitych spelnia podzielnosci 5|P(2) oraz 2|P(5). Pokazac, ze 10|P(7) 3) Rozwiazac uklad rownan w liczbach rzeczywistych a,b,c: 1 rownanie a+b+c = 2 2 rownanie a² + b² + c² = 14 3 rownanie a³ + b³ + c³ = 20 4) Czy mozna pokryc szachownice o wymiarach 13x13 plytkami o 4x1 w taki sposob, ze tylko srodkowe pole nie jest zakryte? 5) W trojkacie rownobocznym o boku 18 jest 666 punktow. Udowodnic, ze pewne trzy punkty tworza trojkat ( byc moze zdegenerowany) o obwodzie co najwyzej 3. 6) Na tablicy wpisano wszystkie liczby naturalne od 1 do 2009. Nastepnie dwie z nich scieramy i na tablicy zapisujemy ich roznice. Operacje te powtarzamy w stosunku do liczb bedacych na tablicy tak dlugo, az pozostanie jedna liczba. Czy moze to byc 0? 7) W kazdym wierzcholku 18kata foremnego lezy kamien. Ruch polega na przelozeniu dowolnych 2kamieni na sasiadujacy wierzcholek. Czy mozna w ten sposob uzyskac wszystkie kamienie w 1 wierzcholku? 8) Udowodnij, ze dla liczb rzeczywistych a, b takich, ze a<> 0, zachodzi a² + b² + 1/a² + b/a² ≥√3 9) Udowodnic dla a,b,c ≥ 0 nierownosc a/b+c + b/c+a + c/b+a >= 3/2 10) Znajdz wszystkie wielomiany P(x) spelniajace dla kazdego x∈R warunek: P(x²) = (P(x))²

Dariusz: oh bylbym zapomnial, w pierwszym liczby a,b,c,d sa dodatnie i calkowite

Dariusz: Ponawiam; p Bardzo mi zalezy na tych zadaniach...w zasadzie to 8 i 9 juz zrobilem, nierownosci jakos mi podchodza; p Ale pozostalych juz nie potrafie nawet ruszyc; p

b.: Te zadania wyglądają mi znajomo... Olimpiada, Delta-Klub44 ? Zacznę od 2. Jeśli P(x)=a_nxⁿ+...+a₁x+a₀, to P(7)=P(2+5) = P(2) + coś podzielnego przez 5 (trzeba rozpisać każdy z czynników (2+5)ⁿ używając np. dwumianu Newtona, składnik z 2ⁿ wkładamy do P(2), a pozostałe dadzą to coś podzielnego przez 5, bowiem będziemy tam mieli 2^n-k5^k z k>0) czyli 5 | P(7). Podobnie pokazujemy, że 2 | P(7).

b.: Do 6. dam wskazówkę: nie, trzeba popatrzyć na sumę liczb na tablicy i...

Dariusz: Tak, skonczylem 3gim i zaczynam przygotowania do OM

Dariusz: Mam pytanie... czy takie rozwiazanie 3 jest dobre: ? Sorry, ze tak to streszcze, ale na papierze zajelo mi to bardzo duzo; p mamy (a+b+c)² = 4 Odczytujemy z tego, ze ab + bc + ac = -5 Przeksztalcamy to: (2-b-c)b + ac + bc = -5 2b - b² - cb + bc + ac = -5 2b - b² + ac = -5 2b - b² + 2c - bc - c² = -5 2(b+c) - b² - bc - c² = -5 2(b+c) - (b+c)² - bc = -5 2(2-a) - (2-a)² - bc = -5 4-2a - 4 + 4a + a² - bc = -5 2a + a² - bc = -5 2a + a² - (2-a-c)(2-a-b) = -5 2a + a² - 4 +2a + 2b + 2a -a² - ab +2c - ac -bc = -5 6a+ 2b - ab +2c -ac - cb = -1 6a + 2b + 2c = -1 + ab + ac + cb 4a + 2(a+b+c) + 1 = ab + ac + cb 4a + 4 + 1 = ab + ac + cb 4a + 5 = -5 a = -2.5 Majac dana pierwsza niewiadowa lekko upraszczamy pewne wyrazenia i otrzymujemy: b+c = 4.5 bedzie naszym pierwszym rownaniem Drugie uzyskujemy z : ab + ac + cb = -5 -2.5 b - 2.5c + bc = -5 2.5( -b - c ) + bc = -5 2.5( -1(b+c)) + bc = -5 2.5 (-1(4.5)) + bc = -5 2.5 (-4.5) + bc = -5 bc = 6.25 Mamy uklad rownan: b+c = 4.5 b*c = 6.25 Skad mamy: (4.5 - c)c=6.25 4.5c - c² = 6.25 c² - 4.5c + 6.25 = 0 Niestety Δ < 0 skad mamy, ze uklad rownan nie ma rozwiazania, mam pytanie, to jest dobra odpowiedz?

Jakub: Chyba masz błąd. Chodzi o te równania: 2(b+c)-b²-bc-c² = -5 2(b+c)-(b+c)²-bc = -5 Powinno być 2(b+c)-(b+c)²+bc = -5

Dariusz: faktycznie, dzieki niestety to wszystko ,,niszczy'' no ale... to bylo nierealne zeby z 2 rownan z 3 niewiadomymi wyliczyc jedna z nich

Dariusz: Sorry, ze tak pisze post pod postem... ale naprawilem to i wyszlo mi cos ciut innego, moze to ktos sprawdzic:? 2(2-a) - (2-a)² + bc = -5 4 - 2a - 4 + 4a + a² + bc = -5 2a + a² + bc = -5 2a + a² + (2-a-c)(2-a-b) = -5 2a + a² + 4 - 2a -2b - 2a +a² + ab -2c + ca + bc = -5 2a² + 4 -4 + ab + bc + ac = -5 2a² + -5 = -5 a= 0 skad mamy, ze b+c = 2 i mamy rowniez bc = -5 skad mamy b+ -5/b = 2 b² - 5 = 2b b² - 2b - 5 Δ = 4 + 20 = 24 Jednakze mamy tez: (2-c)c=-5 2c - c² + 5 = 0 skad Δ = 24 zatem mamy parami rowne liczby... jedyna para b = c i b+c = 2 jest 1... ale 1² + 1² =/= 14 oraz 1 nie spelnia zalozen naszego rownania kwadratowego wiec mamy sprzecznosc...Teraz pozostal przypadek, gdy rozpatrujemy dwa odmienne przypadki z tej delty, wtedy mamy b₁ = -2 - √24 ------------ czyli -1 - 1/2 √24 c₂ = -1 + 1/2 √24 2 Niestety b₁ + c₂ = -1 -1 + 1/2√24 - 1/2 √24 = -2 Co konczy zadanie pokazujac, ze takiej pary nie ma..Niestety znajac zycie, gdzies tam popelnilem kolejny glupi blad^

Dariusz: Gah wiedzialem, ze popelnilem blad... w mianownikach delt ma byc -2 a nie 2; P Ale to i tak nic nie zmienia bo mimo tego, ze pierwsze rownanie jest spelnione pozostale dwa juz nie sa; p

Jakub: Błąd jest zaraz na początku Masz: 2(2-a) - (2-a)² + bc = -5 4 - 2a - 4 + 4a + a² + bc = -5 a powinno być: 4 - 2a - 4 + 4a - a² + bc = -5

Dariusz: geez musze do tego na spokojnie podejsc^

Dariusz: Mam pomysl na zadanie 1...jest dosyc dziwny, ... niech b=d = 0... mamy zatem a² / c⁵... zatem musimy sprawdzic czy kazda liczbe calkowita mozna przedstawic w postaci a² lub c⁵... jezeli poszukujemy liczby n wystarczy wziasc √n i podniesc to do kwadratu lub wziasc ⁵√n i podniesc do potegi piatej, zatem kazda liczbe calkowita mozna przedstawic w postaci a² lub c⁵ wiec kazda liczbe wymierna mozna przedstawic w tej postaci.

Dariusz: Gah wybaczcie, zapomnialem doczytac nastepny post A ze w pierwszym nie bylo zastrzezen wiec ; p Zatem zadanie dalej pozostaje nierozwiazane

Artist: Rozwiązałem sobie z nudów te 3. Odp. a=3,b=-2,c=1. Ale przyjemności wam nie odbiore z samodzielnego dojścia do wyniku.

Dariusz: 1 rownanie a+b+c = 2 2 rownanie a² + b² + c² = 14 3 rownanie a³ + b³ + c³ = 20 Zauwazamy, ze uklad rownan nie moze byc spelniony dla liczb niecalkowitych: Sprawdzmy to dla wszystkich przypadkow: 1) Jedna liczba niecalkowita, dwie calkowite, oczywiscie uklad nie jest spelniony 2) Dwie liczby niecalkowite, jedna calkowita, zatem nasz uklad jest postaci x/y + z/y + c = 2 (x/y)² + (z/y)² + c² = 14 (x/y)³ + (z/y)³ + c³ = 20 Jezeli x/y + z/y jest calkowite, to calkowite nie moze byc (x/y)² + (z/y)², Dowod: (x+z)² -------- Liczba ta jest podzielna przez y², zatem x² + z² nie moze byc podzielne przez y² y² poniewaz oznaczaloby to podzielnosc 2xz przez y², ktora nie moze byc spelniona. Analogiczny dowod przeprowadzamy rowniez dla 3 niecalkowitych.. Zauwazamy teraz, ze przynajmniej jedna z naszych liczb jest > 0, bez utraty ogolnosci zalozmy, ze jest to a... Zauwazamy teraz, ze kwadrat liczby naturalnej moze dawac reszty 1,0 przy dzieleniu przez 3, zauwazmy tez, ze odnosi sie to rowniez do liczb ujemnych; dowod: (-d)² = d² ... Zatem kwadrat dwoch z naszych liczb daje reszte 1 przy dzieleniu przez 3, a jedna liczba jest podzielna przez 3...Zauwazamy teraz, ze ta liczba moze byc = 0, 3 lub -3, Wyeliminujmy 0 i -3. Niech a bedzie ta liczba podzielna przez 3, Jezeli a=0, Uklad przyjmuje postac b+c = 2 b² + c² = 14 b³ + c³ = 20 Zauwazamy teraz, ze nie ma takich kwadratow liczb calkowitych takich, ze b² + c² = 14.... Jezeli a=-3 Uklad przyjmuje postac b+c = 5 b² + c² = 5 ...Na mocy nierownosci a² ≥ a dla a≥1 lub a≤-1 zauwazamy, ze uklad nie jest spelniony dla a = -3... Zatem a = 3 Tak wiec nasz uklad przyjmuje postac b+c = -1 b² + c² = 5 Jako, ze dzialamy w liczbach calkowitych ten uklad ma jedno rozwiazanie: b=-2, c=1...teraz droga bezposredniego sprawdzenia pozostalo nam wykazac poprawnosc tego rozwiazania: 3-2+1 = 2 9+4+1 = 15 27 - 8 + 1 = 20

Dariusz: Zadanie 6. Lemat 1: Niezmiennikiem jest tutaj nieparzystosc sumy wszystkich liczb znajdujacych sie na tablicy. Dowod: Wezmy takie liczby x, y, takie, ze x>y...rozwazmy teraz wszystkie przypadki Jezeli x i y sa parzyste, to x-y rowniez jest parzyste. Zatem na tablicy suma dalej jest nieparzysta. Jezeli x jest parzyste a y nieparzyste, to x-y jest nieparzyste, ale suma na tablicy jest parzysta bo wzielismy cos nieparzystego, ale parzyste+nieparzyste ktoro pozostalo daje dalej nieparzyste. Jezeli x jest nieparzyste a y parzyste to mamy x-y = nieparzyste; ale wzielismy cos nieparzystego i teraz suma na tablicy bedzie nieparzysta. Zalozmy teraz, ze x<y Jezeli x i y sa parzyste to mamy: x-y = cos parzystego ujemnego, jako, ze wzielismy liczby parzyste suma cyfr jest nieparzysta do ktorej dokladamy cos postaci -2k, zatem suma dalej jest nieparzysta. Jezeli x jest parzyste a y nieparzyste mamy x-y = cos nieparzystego ujemnego, ale wzielismy cos nieparzystego zatem tablica jest parzysta, tak wiec tablica jest postaci parzyste - nieparzyste = nieparzyste Jezeli x jest nieparzyste a y parzyste mamy x-y = cos nieparzystego, zatem tablica dalej jest nieparzysta. Jako, ze niezmiennikiem jest tutaj nieparzystosc sumy wszystkich liczb znajdujacych sie na tablicy, a 0 jest parzyste, nie da sie go uzyskac.