zadanie
tn: Witam.
Mam: Wykaż, że n
7−n jest podzielne przez 7.
Więc:
n
7−n = n(n
6−1) = n(n
3−1)(n
3+1) = n(n−1)(n
2+n+1)(n+1)(n
2−n+1) =
=(n−1)(n)(n+1)(n
2+n+1)(n
2−n+1)[
Dalej nie mam żadnego pomysłu
Więc pomyślałem, że wyłamię to łomem, tzn, sprawdzę każdą możliwość.
Na mocy twierdzenia o dzieleniu całkowitym z resztą, mamy, że
n= 7k + 0 k ∊ C
n=7k+1
n=7k+2
n=7k+3
n=7k+4
n=7k+5
n=7k+6
To jest 7 przypadków, ale mogę je zapisać nieco inaczej.
n= 7k + 0
n=7k+1
n=7k+2
n=7k+3
n=7k−3
n=7k−2
n=7k−1
I teraz każdy z nich sprawdzę. Wiadomo, że muszę podstawić do któregoś nawiasu, żebym otrzymał
siódemkę, ale z tym sobie już poradzę − na oko mniej więcej oceniam, gdzie warto, podstawić
aby otrzymać 7, a jeśli jest ona w iloczynie, to cały iloczyn jest podzielny przez 7.
Pytanie czy taki dowód na maturze przejdzie ?
17 gru 14:39
Saizou : a może z małego tw. Fermata
17 gru 14:41
Artur_z_miasta_Neptuna:
na dobra sprawę ... chyba innego dowodu nie jesteś w stanie napisać ... więc powinien 'przejść'
17 gru 14:41
Artur_z_miasta_Neptuna: Saizou ... na maturze
17 gru 14:42
Saizou : a czemu nie
(znając
Vax'a to pewnie nie takie cuda wymyśli na maturze (jeśli będzie
musiał podejść do niej))
17 gru 14:46
Eta:
można jeszcze tak:
zauważyć,że n2+n+1= (n+3)(n−2) +7 i n2−n+1= (n−3)(n+2)+7
podstawić i ...........
17 gru 14:50
PW: A metodą indukcji nie łaska?
Nie próbowałem sam, ale to też powinien być jeden z pomysłów.
17 gru 16:10
koksu: to zadanie na co najmniej 4 sposoby mozna rozwiazac
17 gru 16:17
tn: Przecież indukcja nie ma prawa bytu w zbiorze liczb całkowitych!
Tylko dla naturalnych!
17 gru 16:27
tn: @Eta, a skąd pewność, że tamto (n−3)(n+2) jest podzielne przez 7 ?
17 gru 16:28
Mateusz:
a zbiór liczb całkowitych jakie liczby zawiera
?
17 gru 16:29
Mateusz:
Moze inaczej popatrz sobie na relacje jakie zachodzą między podzbiorami zbioru liczb
rzeczywistych
17 gru 16:41
PW: @tn: Nie było w treści zadania, co oznacza n. Zwyczajowo jeśli nic nie piszą, to przyjmuje
się, że symbol n oznacza liczbę naturalną.
Zresztą n7−n jest sumą nieparzystych potęg, więc ...
17 gru 16:53
tn: ok, a jeśli założymy, że n ∊ C
Co wtedy?
17 gru 17:14
PW: Wtedy dla k=−n, n∊N mamy k7−k = (−n)7−(−n) = −(n7−n), jeżeli zatem (n7−n) spełnia tezę, to
spełnia ją także liczba przeciwna k7−k. O tym myślałem pisząc o nieparzystych potęgach.
17 gru 18:10
tn: Z kolei jeśli mamy parzyste potęgi, to nie ma co się bawić, tylko rozważać zbiór naturalny
17 gru 18:11
PW: W treści zadania są dwie nieparzyste potęgi:
n7 i n1
Nie ma potrzeby mówić o parzystych potęgach.
17 gru 18:14
tn: tak, ale gdyby....
17 gru 18:16