Oblicz sigmę z liczby miki98: OBLICZ: n ∑ n po i i=0

olkanel: Czy takie coś da się jakoś obliczyć jak nie ma więcej danych ?

zombi: Czyli masz na myśli

n 0		n 1		n n−1		n n
	+		+...+		+		?

Widziałem, kiedyś coś takiego i wynik wychodził, chyba 2ⁿ, ale nie powiem ci jak to się rozwiązywało...

zombi: Aha, to jest zwyczajny dwumian, który ma postać (1+1)ⁿ, zauważ, że to suma współczynników...

miki98: Sam nie wiem czy o to chodzi

zombi: Raczej, to autor miał na myśli. Wystarczy spostrzec, że to suma współczynników rozwinięcia

	n 0		n n
dwumianu newtona, czyli		an+...+		bn. U ciebie przy tych współczynnikach stoi

jedynka, więc to jest twoje a i b, no i finito (1+1)ⁿ=2ⁿ

miki98: Aha. A mógłbyś to jeszcze jaśniej opisać bo nadal tego nie ogarniam PLS

zombi: Wiesz jak rozpisać sigmę? n

n i

n 0

n 1

n 2

n n−1

n n

∑

=

+

+

+...+

+

i=0 Dobra mamy rozpisane, teraz przejdźmy do dwumianu newtona (a+b)ⁿ rozpisujemy w ten sposób

	n 0		n 1		n n−1		n n
=		*an*b0+		*an−1*b1+...+		*an−n+1*bn−1+		*a0*bn

	n 0
Gdzie		itd. to twoje współczynniki np. (a+b)2=a2+2ab+b2 =

	2 0		2 1		2 2
		a2+		ab+		b2

	n 0		n 1
W twoim przypadku masz sumę samych współczynników, czyli		+		+...

Zatem

n 0		n 0
	=		*an*b0

aⁿ*b⁰=1 ... a⁰*bⁿ=1 i z tego możesz wywnioskować, że a=b=1

miki98: Aha ZAPAMIĘTAM to sobie Nie podawali nam tego w szkole... A jak byś rozwiązał: 10 ∑ 10 po i i=0

zombi: To to samo, tylko, że nie masz n, więc rozpisujesz sigmę

10 0		10 1		10 9		10 10
	+		+...+		+

tutaj twoje n=10 znowu musisz zauważyć, że a=b=1, czyli (1+1)¹0=2¹0=1024

zombi: na końcu miało być (1+1)¹⁰=2¹⁰

miki98: A jak byś obliczył takie zadanie:

	1
Wyznacz wyraz rozwinięcia (x+		)15 który zawiera x5
	x

zombi:

	1
(x+		)15
	x

a więc. tak jak ci już wcześniej rozpisałem, dwumian newtona, to korzystasz z niego w ten sposób: twoje n=15

	1
i na razie olewamy współczynnik musimy znaleźć a i b, czyli x i		, pomnożone razy siebie,
	x

aby dały x⁵ więc zapisujemy tak:

	1
x15−k*(		)=x15−k*x−k=x15−2k, czyli
	xk

x^15−2k=x⁵ ⇒ 15−2k=5 ⇒ k=5 No i ten wyraz to

n k		15 5		1
	an−k*bk=		x10*
				x5

olkaq: A co gdyby pojawiło sie takie zadanie

	1
Wyznacz 6 wyraz rozwinięcia (x+		)n , którego suma dwóch ostatnich wyrazów rozwinięcia
	x2

dwumianu wynosi 19

zombi: no to lecimy

n n−1		n n
	+		=19 to są współczynniki dwóch ostatnich

dostajesz n+1=19 ⇒n=18 i chcesz szósty wyraz, czyli

	18 5		1		18 5		1		18 5
c6=		x18−5*		=		x13*		=		x3
			x2*5				x10