rówanania i nierówności liniowe z wartością bezwzględną uczen_16245: Witam.Mam do was prośbę o rozwiązanie i wytłumaczenie mi przykładu z równań i wartości liniowych z wartością bezwzględną.Mianowicie chodzi mi o ten przykład: I x+2 I − I x−5 I = 2 I I ma oznaczać moduł w razie wątpliwości Proszę o rozpisanie rozwiązania. Dziękuję z góry

technik: najpierw miejsca zerowe

PW: Trzeba się pozbyć tych wartości bezwzględnych − przetłumaczyć |x+2| na dwie funkcje "kawałkami liniowe", podobnie |x−5|: |x+2| = x+2 tam, gdzie x+2 jest nieujemne |x+2| = −(x+2) tam, gdzie (x+2) jest ujemne. Jest to zwykłe zastosowanie definicji wartości bezwzględnej. Musimy więc wiedzieć, dla jakich x jest x+2≥0, a dla jakich x jest x+2<0.. Rozwiązania są łatwe: x+2≥0 dla x≥−2, a x+2<0 dla x<2. Pierwszą funkcję mamy rozszyfrowaną: |x+2| = x+2 dla x≥−2 |x+2| = −(x+2) dla x<−2 Dlatego mówi się, że jest to funkcja "kawałkami liniowa" − jest liniowa dla x≥−2 i liniowa dla x<2, ale są to różne funkcje liniowe na tych dwóch kawałkach osi. Jeżeli identyczne "pokawałkowanie" zrobimy dla drugiej funkcji |x−5|, to zobaczymy, że jest ona określona także dwoma wzorami − na (−∞,5) i <5,∞). Po narysowaniu tych przedziałów na osi liczbowej zobaczymy, że trzeba rozpatrywać trzy przedziały: (−∞,−2). <−2,5), <5.∞). bo na każdym z nich lewa strona zadanego równania ma "inny przepis", czyli będziemy mieli trzy różne równania: dla x ∊(−∞,−2) będzie to −(x+2) − [−{x−5)] = 2 dla x∊<−2,5) ....... dla x∊<5.∞) ........ To tylko tyle.

uczen_16245: trochę inaczej mi to rozpisałeś niż na lekcjia ale myślę ze dam radę. Na lekcji najpierw robiliśmy np: x+2=0 czyli x=−2 i x−5=0 czyli x=5 później zaznaczamy to na osi (rysujemy przedziały) i dzielimy je na I II i III. i np. do I przedziału patrzylismy czy np. dana liczba w tym przedziale jaką ma wartość.Później patrzylismy na znaki jakie przyjmuje ta wartosc po podstawieniu do Ix+2I−Ix−5I=2 i potem zmienialismy zależnie od wartości czy dodatnia bądź ujemna wartości po podstawieniu. Spróbuje to ogarnąć, jakby był znak w tej nierówności dodatni między tymi modułami to daje sobie radę, ale jak ujemny za nic nie wiem jak to zrobić.

PW: "patrzyliśmy czy np. dana liczba w tym przedziale jaką ma wartość" − to jest sposób dla blondynek (mądrzejsi wiedzą, że funkcja liniowa na tym przedziale ma stały znak, a blondynce mówią: weź jakąś liczbę z tego przedziału i zobacz, czy funkcja jest dodatnia; jak dodatnia, to pisz plus). Panie, patrzysz i nie grzmisz! Spróbuj z trzema różnymi nierównościami na trzech różnych przedziałach, tak jak pisałem. Nauczysz się raz i nie będziesz musiał przy trudniejszych zadaniach powtarzać dyrdymałów.

Mila: I x+2 I − I x−5 I = 2 1)x+2≥0⇔x≥−2 2)x−5≥0⇔x≥5 a)x<−2 obydwa wyrażenia ujemne:⇔I x+2 I − I x−5 I = 2 ma postać:(−x−2)−(−x+5)=2⇔−x−2+x−5=2⇔−7=2 sprzeczność, brak rozwiązań w tym przedziale b)x∊<−2;5) mamy: x+2−(−x+5)=2⇔x+2+x−5=2⇔2x=5⇔x=2,5∊<−2;5) c) x≥5 mamy x+2−(x−5)=2⇔x+2−x+5=2⇔7=2 sprzeczność, brak rozwiązań w tym przedziale Odp. x−2,5

Mila: x=2,5

pigor: ... lub np. geometrycznie tak : |x+2|−|x−5|=2 ⇔ |x+2|= |x−5|+2 i rysujesz oś Ox i zaznaczasz na niej dokładnie punkty −2 i 5 i łatwo znajdujesz x=2,5 − szukany punkt w odległości 2,5 od x=5 i zarazem 2,5+2=4,5 od x=−2 i tyle . ...

uczen_16245: interpretacji geometrycznej jeszcze nie mieliśmy

uczen_16245: Dzięki Mila i inni za pomoc

Mila: